Лекція 3. Математичні схеми моделювання систем.

1. Основні підходи до питання побудови математичних моделей систем.

Рівень абстракції моделі впливає на вибір математичної схеми. Математична схема - це ланка при переході від змістовного до формального опису процесу функціонування, тобто має місце послідовність: описова модель, математична схема, математична модель. Система S характеризується множиною властивостей, які визначають величини, які відображають поведінку об’єкта, який моделюється. Скорочено модель об’єкта можна представити наступним чином: підмножина хі вхідних сигналів

В цих підмножинах виділяють керуючі і некеруючі параметри, причому всі ці підмножини є неперетинаючими. Підмножини хі, vl, hk є незалежними (екзогенними). Підмножина уj є залежною (ендогенною) підмножиною.

Всі ці параметри можна представити у векторній формі:

Процес функціонування системи можна визначити як перетворення екзогенних параметрів в ендогенні.

(3.1)

Сукупність залежностей вихідної характеристики від часу yj(t) для всіх називається вихідною траєкторією яка визначається співвідношенням (3.1). FS може бути функцією від функціонала, функцією логічних умов або представлена в алгоритмічному або табличному форматі, або у вигляді словесного правила відповідності.

Алгоритм функціонування Аs - це метод отримання вихідних характеристик з врахуванням вхідних дій х(t), впливу зовнішнього середовища v(t) та внутрішніх параметрів h(t).

Співвідношення (3.1) є математичним описом поведінки об’єкта моделювання у часі t, тобто відображають їх динамічні властивості. Тому математичні моделі такого виду прийнято називати динамічними моделями. Для статичних моделей математична модель приймає вигляд:

(3.2)

Співвідношення (3.1) і (3.2) можуть бути задані різними способами: аналітично, графічно, таблично та ін. Такі співвідношення можуть бути отримані через властивості системи S в конкретні моменти часу, які називаються станами. Стан системи S може характеризуватись векторами:

Функціонування системи S розглядається як послідовна зміна станів. Кожний стан можна інтерпретувати координатами точки в к-вимірному фазовому просторі. Кожній реалізації процесу буде відповідати деяка фазова траєкторія. Сукупність всіх можливих значень станів {Z} називається простором станів об’єкта моделювання Z. Стан системи S в момент часу t0 < t* <= T повністю визначається початковим станом

які мали місце на проміжку часу (t0,t*) за допомогою двох векторів

(3.3)

(3.4)

Рівняння (3.3) по початковому стану та екзогенним змінним визначає вектор-функцію .

Рівняння (3.4) по отриманому стану визначає ендогенні змінні . Таким чином ланцюг рівнянь об’єкта, “вхід - стан - вихід” дозволяє визначити характеристики системи.

(3.5)

В загальному випадку час моделі системи S може розглядатися на інтервалі (0,T) як неперервним так і дискретним t=mt, де , k - кільксть проміжків на інтервалі (0,T). Таким чином, під математичною моделлю об’єкта розуміється скінчена підмножина змінних

разом із математичними зв’язками між ними і характеристиками y(t). Якщо математичний опис об’єкта моделювання не містить елементів випадковості, тобто відсутні підмножини то модель називається детермінованою в тому розумінні, що характеристики однозначно визначаються детермінованими вхідними діями.

(3.6)

Приведені математичні співвідношення представляють математичні схеми загального виду і дозволяють описати широкий клас систем. Однак на практиці раціональніше використовувати типові математичні схеми, а саме диференційні рівняння, скінчені і ймовірнісні автомати, системи масового обслуговування та ін.