5.7. Термоэлектронная эмиссия

Электроны проводимости в металле свободно перемещаются по всему его объему. Выйти за пределы металла электрон может, только преодолев пограничный потенциальный барьер. Дополнительная энергия, необходимая для этого, может быть сообщена электроном различными способами, например, путем нагревания металла. Явление испускания электронов металлами при их нагревании называется термоэлектронной эмиссией, а требуемая для этого минимальная дополнительная энергия – работой выхода электрона.

а) б)

Рис. 16.1

Зависимость потенциальной энергии электрона в металле U(x) от расстояния x до его поверхности в первом приближении можно представить в виде прямоугольной потенциальной ямы коечной глубины U₀ с границами, совпадающими с границами кристалла. Указанная зависимость изображена на рис. 16.1, а. На рис. 16.1, б показана функция распределения Ферми-Дирака f(𝜀) электронов внутри металла и отмечен уровень Ферми Пунктиром на рис. 16.1, б показана функция распределения Ферми – Дирака при Т = 0 К. Из рис. 16.1, б видно, что уровень Ферми есть последний заполненный энергетический уровень при абсолютном нуле температуры или уровень, вероятность заполнения которого при любой, отличной от нуля температуре равна 1/2.

Все уровни, расположенные ниже уровня Ферми при T почти полностью заняты электронами, а все уровни, расположенные выше, – почти полностью пусты (что и показывает ход кривой 16.1). В качестве работы выхода принимают величину работы А, которую должен совершить электрон, чтобы с уровня Ферми выйти за границы металла. Из рис. 16.1, а видно, что Требуемая для этого минимальная кинетическая энергия электрона на уровне Ферми должна быть, очевидно, Ясно, что из металла могут выходить только такие электроны, кинетическая энергия которых, удовлетворяет неравенству

Термоэлектронную эмиссию можно наблюдать в вакуумной электронной лампе с двумя электродами – вакуумном диоде, в которой источником электронов служит проволока (нить) из тугоплавкого металла, накаливаемая электрическим током. Анод лампы обычно представляет собой металлический цилиндр, окружающий катод. На анод обычно подают положительный относительно катода потенциал. При этом в анодной цепи, содержащей какую-либо нагрузку (резистор, колебательный контур и т.д.), через которую течет ток (рис. 16.2). Прохождение электронов через вакуумную лампу называют током в вакууме. Как видно из рис. 16.2, ток (хотя и небольшой) существует и при отрицательном значении потенциала анода. Это связано с тем, что катод, вследствие термоэлектронной эмиссии из него (которая имеет место при любой температуре катода), всегда окружен пространственным электрическим зарядом электронного газа ("электронным облаком"). Энергия электронов в этом облаке из-за его малой плотности подчиняется распределению Максвелла – Больцмана, поэтому в облаке всегда имеется какое-то количество таких электронов, кинетическая энергия которых превосходит работу торможения электрического поля анода (–U_a ). Эти электроны достигают анода и создают некоторый ток. Однако при достаточно большом отрицательном потенциале анода ни один электрон не может преодолеть торможение электрического поля, и ток прекращается (как говорят, лампа запирается). При увеличении потенциала анода облако постепенно рассасывается, сила тока через лампу увеличивается. Зависимость тока от анодного потенциала сложная (нелинейная), так как движение электронов через лампу определяется не только внешним полем (полем анода), но и полем, созданным электронным облаком, препятствующим движению электронов. При достаточно большом потенциале анода пространственный заряд рассасывается полностью и дальнейшее возрастание тока прекращается. При этом все вылетевшие с катода электроны достигают анода. А поскольку число эмитируемых с катода в единицу времени электронов (при данной температуре катода Т ) постоянно, то постоянным будет и ток. Предельное значение тока I_s называется током насыщения. Плотность тока насыщения зависит от материала катода и от его температуры. Его величина определяет эмиссионную способность материала катода, т.е. максимальное количество электронов, которое может эмитировать катод с единицы поверхности в единицу времени.

Проведем расчет величины I_s. Чтобы электрон смог выйти из металла, он должен иметь составляющую скорости в направлении, перпендикулярном к поверхности металла (это направление у нас обозначено через Х), и обладать кинетической энергией в этом направлении, не меньшей высоты поверхностного потенциального барьера + А, т.е. должно выполняться условие

При этом другие компоненты ( и ) могут принимать любые значения от до + . Ток эмиссии с единицы площади (плотность тока эмиссии) равен произведению заряда электрона е на число электронов, испущенных в единицу времени с этой площади. Число указанных электронов в свою очередь является произведением на их число n( ) в единице объема со скоростью, удовлетворяющей указанному выше условию для кинетической энергии. Итак, , где Электронный газ в металле является вырожденным идеальным газом, подчиняющимся распределению Ферми-Дирака. Согласно этому распределению число электронов в единице объема для значений , лежащих между и и, аналогично для и , можно определить как

где – квантовая постоянная, – функция распределения Ферми – Дирака, определяемая выражением (5.5),

– кинетическая энергия электрона, Т – термодинамическая температура. Так как поверхностный потенциальный барьер преодолевают только высокоэнергичные электроны, т.е. такие, у которых а значит, и (эти электроны находятся на "хвосте" распределения Ферми-Дирака). При таком условии функция (5.5) переходит в функцию (5.6), и тогда

Учитывая это для плотности тока насыщения будем иметь

=

Первые два интеграла одинаковы и равны Третий интеграл легко вычисляется с помощью подстановки и равен Внося эти результаты в выражение для получим

(16.2)

где C = – постоянная, одинаковая для всех металлов. Формулу (16.2) называют формулой Ричардсона – Дешмана. Из этой формулы видно, что плотность тока насыщения действительно зависит только от работы выхода электрона из катода, а значит, от материала катода и его температуры. Зависимость от температуры является быстровозрастающей функцией и в основном определяется экспоненциальным множителем. Поэтому, чтобы получить большие токи эмиссии, нужно металл сильно нагреть. При этом больше ток эмиссии при одной и ой же температуре дает тот металл, из которого работа выхода меньше.