5.8. Зонная теория собственных полупроводников

В п. 4.2 была рассмотрена классическая теория электропроводности собственных полупроводников. Проведем теперь описание электропроводности собственных полупроводников на основе понятий и представлений зонной теории.

Как отмечалось в п. 4.3, в полупроводниках в основном состоянии, т.е. при T = 0 K, валентная зона полностью заполнена электронами, а зона проводимости совершенно пуста. Зона, полностью заполненная электронами, не может проводить электрического тока, так как в ней нет соседних пустых состояний. Пустая зона тоже не проводит тока ввиду отсутствия там носителей вообще. Поэтому в основном состоянии проводимость полупроводника равна нулю.

При любой конечной температуре T > 0 K некоторое число электронов способно перейти через запрещенную зону и попасть в зону проводимости (рис. 5.). Вероятность такого перехода пропорциональна множителю . При этом в валентной зоне некоторые состояния освобождаются электронами, а в зоне проводимости заполняются ими. Оставшиеся свободные места в валентной зоне называют дырками. Такой переход называют термической генерацией электрон-дырочных пар (стрелка 1 на рис 5.). Ближайший к дырке электрон валентной зоны, попадая в нее, оставляет при этом новую дырку, которую заполнит следующий соседний электрон валентной зоны и т.д. Дырка валентной зоны будет перемещаться по кристаллу в направлении, противоположном направлению движения электронов валентной зоны. Таким образом, дырка ведет себя во всех отношениях как свободный носитель положительного заряда в валентной зоне. Следовательно, переход одного электрона через запрещённую зону приводит к появлению одного электрона в зоне проводимости и одной дырки в валентной зоне.

Процесс рекомбинации свободного электрона проводимости и дырки валентной зоны означает переход электрона из зоны проводимости на вакантный (незанятый электроном) уровень в валентной зоне. На рис. 5 этот процесс обозначен стрелкой 3, как и на рис. 5.

При наложении внешнего электрического поля эти частицы могут совершать движение по состояниям в зонах и вносить вклад в проводимость полупроводника. С повышением температуры число носителей в зонах возрастает, а значит, должна возрастать и проводимость. Полупроводники, как и металлы, подчиняются закону Ома, но проводимость σ полупроводников складывается из проводимостей электронов и дырок:

где и – заряды носителей тока (электронов и дырок) в собственных полупроводниках, n_– и n₊ – число электронов в зоне проводимости и число дырок в валентной зоне. Вводя подвижности μ_– ­­­ и μ₊ носителей тока, для собственных полупроводников, для которых n_{_}= n₊, выражение для проводимости можно переписать в вид

Величину n_– можно вычислить, воспользовавшись соотношением (4.11). При этом выражение для f(E) берётся в виде формулы (4.6), а для ρ(E) – в виде формулы (4.10). Интегрирование надо проводить от ε_g до максимальной энергии в зоне ε_max, причём этот предел можно заменить на бесконечность ввиду экспоненциального характера подынтегральной функции. Интегрирование даёт

n_– (4.19)

где учтено, что в полупроводниках

Величина n_– имеет смысл числа электронов, перешедших из валентной зоны в зону проводимости при температуре T. Это число, как видно из (4.19), действительно стремится к нулю при T → 0 К и возрастает с ростом T. Кроме того, n_– сильно зависит и от ширины запрещённой зоны, и чем она больше, тем меньше число носителей, перешедших из валентной зоны в зону проводимости.

Зависимость n_–(T) вносит основной вклад в температурную зависимость проводимости полупроводника. Кроме того, зависимость σ от T связана ещё и с зависимостью подвижности носителей от температуры. Эта зависимость почти полностью определяется рассеянием носителей тока на тепловых колебаниях решётки. Поскольку и , то

μ

Следовательно, для чистых полупроводников удельная проводимость

σ(T)

Или

(5.с)

где – множитель, слабо зависящий от температуры.

Как видим, удельная проводимость собственных полупроводников возрастает с температурой.

Взяв натуральный логарифм от обеих частей равенства (5.с), получим

(5.д)

Из формулы (5.д) следует, что для собственных полупроводников является линейной функцией обратной температуры (рис. 5.). Угловой коэффициент этой прямой определяется шириной запрещенной зоны полупроводника. Эксперименты подтверждают зависимость (5.д).

Отметим, что в собственном полупроводнике уровень Ферми располагается точно посередине запрещенной зоны, как это обозначено пунктирной линией на рис. 5.