Тема 5. Средние величины в статистике
5.1. Сущность средних величин, их виды и значение в статистическом анализе.
5.2. Порядок расчета и свойства средней арифметической.
5.3. Порядок расчета и сфера применения средней гармонической, средней геометрической и средней квадратической.
5.1. Сущность средних величин, их виды и значение в статистическом анализе
Сущность средних величин
Метод средних величин широко используется в статистическом анализе.
Средняя величина – обобщенная количественная характеристика признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.
Важный вклад в обоснование и развитие теории средних величин внес крупный бельгийский учений XIX века Адольф Кетле (1796 – 1874), член Бельгийской академии наук, член-корреспондент Петербургской академии наук. Согласно учению Кетле закономерности и характеристики массовых процессов и явлений формируются под влиянием двух групп причин.
Первая группа включает общие для всех единиц совокупности причины, которые формируют типичный уровень признака для всех единиц данной совокупности и связаны с сущностью изучаемого явления.
Вторая группа включает индивидуальные причины, формирующие специфические особенности отдельных единиц совокупности, а, следовательно, и их отклонения от типичного уровня.
Чем однороднее изучаемая совокупность, тем более случайный характер носят индивидуальные различия единиц совокупности. В средних величинах эти индивидуальные различия случайного характера взаимопогашаются и, таким образом, обеспечивается проявление общих, типичных свойств, присущих совокупности.
Таким образом, средние величины в статистическом анализе выполняют две функции:
– во-первых, средние величины обобщают значение количественного признака по всем единицам совокупности. Эта функция выполняется всегда;
– во-вторых, средние величины представляют типичный уровень признака в совокупности. Для выполнения этой функции должны соблюдаться определенные условия применения метода средних величин.
Для того чтобы средние величины представляли типичный уровень признака в совокупности, необходимо соблюдать два основных условия:
– во-первых, средние величины должны определяться по качественно однородной совокупности. При расчете средней величины для неоднородной совокупности будут погашаться не только случайные отклонения, но и существенные различия между отдельными единицами, которые могут свидетельствовать о зарождении новых тенденций;
– во-вторых, средние величины должны определяться для статистических совокупностей, значительных по численности. Формируя большие или значительные по численности единиц совокупности, мы обеспечиваем условия для проявления закона больших чисел.
Одним из методов статистики, который позволяет получить среднюю величину как типичную характеристику признака в совокупности является метод группировки . Если совокупность неоднородна, общие средние (по совокупности в целом) должны быть дополнены групповыми средними, т.е. средними, рассчитанными по качественно однородным группам.
Однако не следует сводить роль средних величин обязательно к характеристике типичных значений признаков в однородных по данному признаку совокупностях. На практике современная статистика довольно часто использует средние величины, обобщающие явно неоднородные явления. Например, средняя величина валового внутреннего продукта на душу населения в стране, среднее потребление различных продуктов – это характеристики государства как системы. В этом случае говорят о системных средних. Они могут характеризовать как пространственные системы, существующие одномоментно (государство, отрасль, регион), так и динамические системы, протяженные во времени (например, среднегодовая температура).
Сравнение системных средних по разным системам (объектам), придает им признаки типичности.
Например, среднегодовое потребление кофе на душу населения составляет в Финляндии – 11,6 кг, а в Великобритании – 2,4 кг.
Это, конечно, не означает, что каждый житель в этих странах потребляет такое количество кофе, но сравнение среднедушевого потребления кофе в Великобритании и Финляндии указывает на традиции или предпочтения жителей этих стран. Финляндия – страна, в которой предпочитают кофе, а Великобритания – страна с традициями употребления чая.
Следует иметь в виду, что даже типичная средняя не является раз и навсегда данной, неизменной характеристикой совокупности. С изменением условий существования совокупности изменяется и уровень средней величины. Поэтому типичность средней величины – понятие относительное, ограниченное как в пространстве, так и во времени.
Средняя величина характеризует изучаемую совокупность по одному признаку (исключение составляет многомерная средняя, которая рассматривается в теме 3). Она отражает величину признака по отношению к единице совокупности, но не обязательно к какой-то конкретной единице.
Средняя величина сохраняет размерность (единицу измерения) осредняемого признака.
Для всесторонней характеристики совокупности целесообразно использовать систему средних величин по наиболее существенным признакам.
Например, совокупность рабочих предприятия можно охарактеризовать показателями средней выработки, средней зарплаты, среднего тарифного разряда, среднего стажа работы и др.
Значение средних величин в статистическом анализе
Средние величины решают следующие статистические задачи:
– измеряют уровень развития явления;
– позволяют сравнивать уровень одних и тех же признаков по разным совокупностям;
– используются для расчета показателей вариации значений признака (среднего линейного отклонения, дисперсии, среднего квадратического отклонения, относительных показателей вариации);
– используются при проведении корреляционно-регрессионного анализа
Средняя величина, как обобщающая количественная оценка совокупности, не дает исчерпывающей характеристики этой совокупности. Поэтому средние величины используют в сочетании с другими обобщающими показателями: показателями вариации, структурными средними.
Виды средних величин
Средние величины делятся на две основные категории: степенные и структурные средние (рис. 5.1).
В данной теме рассматриваются относящиеся к степенным средним такие их виды, как средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.
Структурные средние, представленные модой и медианой, рассматриваются в теме 6, а хронологические средние характеризуются в теме 9 «Анализ динамики».
Выбор того или иного вида средних величин зависит от цели исследования, экономической сущности осредняемого показателя и характера имеющихся исходных данных.
Сущность степенных средних раскрывается через понятие «определяющее свойство степенных средних».
Определяющим свойством степенных средних называется их способность сохранять неизменными некоторые обобщающие количественные характеристики статистической совокупности.
Обобщающая количественная характеристика совокупности, которая не изменяется при замене всех индивидуальных значений признака на его среднюю величину, называется определяющим показателем.
Определяющий показатель, выраженный математически, называют определяющей функцией.
Каждый вид степенной средней имеет свой определяющий показатель и свою определяющую функцию.
На основе определяющей функции, посредством замены индивидуальных значений признака средней величиной, составляется уравнение средней величины. Решая уравнение средней, получают формулу для расчета средней величины определенного вида.
5.2. Порядок расчета и свойства средней арифметической
Определяющий показатель средней арифметической величины и порядок ее расчета
Средняя арифметическая величина – наиболее распространенный вид средних в статистике.
Определяющим показателем средней арифметической является сумма значений признака у всех единиц совокупности. В соответствии с этим ее определяющая функция записывается следующим образом:
где ω – определяющий показатель средней арифметической ;
xi – индивидуальные значения признака;
n – численность статистической совокупности.
На основе (5.1) составляем уравнение средней арифметической величины ( Х ):
Решая это уравнение относительно Х , получим формулу средней арифметической простой:
Формула средней арифметической простой используется в тех случаях, когда каждое значение признака встречается один раз, либо когда при повторении значений признака они не сгруппированы.
Наряду с формулой средней арифметической простой используют формулу средней арифметической взвешенной. Эту формулу применяют в тех случаях, когда повторяющиеся по нескольку раз значения признака сгруппированы и для каждой группы определена частота (fi) или частость (ωi) i -того значения признака. Как правило, такие данные представляются в виде ранжированного ряда распределения, в котором все значения осредняемого признака располагаются в порядке возрастания или убывания.
Формула средней арифметической взвешенной может быть записана следующим образом:
где xi – отдельные значения признака (варианта);
fi – частота i-того значения признака (1,m );
m – количество групп.
Если вместо абсолютных частот известны частости (ωi), выступающие в качестве весов, формула средней арифметической взвешенной имеет следующий вид:
если частости выражены в долях
если частости выражены в процентах
Типичные случаи расчета средней арифметической
В зависимости от содержания исходной информации можно выделить следующие три типичных случая расчета средней арифметической.
1. Расчет средней арифметической в дискретном ряду распределения
В этом случае средняя арифметическая рассчитывается, как средняя
арифметическая взвешенная на основе формул (5.4, 5.5) или (5.6) (в зависимости от исходных данных).
2. Расчет средней арифметической в интервальном ряду распределения
Расчет средней арифметической в интервальном ряду распределения также выполняется на основе формулы средней арифметической взвешенной. Применению формулы предшествует операция замены интервала значений осредняемого признака в каждой группе на его серединное значение.
Середина каждого интервала определяется простым расчетом:
где Xi' – середина i -того интервала (группы);
XH i, XВi – нижнее и верхнее значение признака в i-том интервале (группе).
3. Расчет средней арифметической для совокупности в целом на основе групповых средних.
Если известны средние значения признака по группам анализируемой совокупности, то среднее значение признака по всей совокупности в целом определяется как средняя взвешенная из групповых средних:
5.3 Порядок расчета и применение средней гармонической, средней геометрической и средней квадратической
Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда известны значения осредняемого признака (Xi), объем осредняемого признака ( fhi), но не известна численность единиц совокупности.
Определяющим показателем средней гармонической является сумма обратных значений признака.
Средняя гармоническая достаточно широко используется в экономических расчетах. Например, ее применяют, когда нужно определить среднюю заработную плату по группе предприятий (цехов) на основе данных о средней заработной плате и фонду заработной платы по каждому предприятию (цеху). Другой пример: зная трудоемкость каждого вида продукции и затраты рабочего времени на ее изготовление, на основе средней гармонической определяют среднюю трудоемкость.
Средняя геометрическая ( X геом.) используется в анализе динамики для определения средних коэффициентов (темпов) роста.
Определяющим показателем средней геометрической является произведение значений признака у всех единиц совокупности.
Средняя квадратическая ( X кв.) используется при расчете показателей вариации (среднего квадратического отклонения), которые рассматриваются в следующей теме «Анализ статистических распределений».
Определяющим показателем средней квадратической является сумма квадратов значений признака у всех единиц совокупности.В табл. 5.5 представлены формулы расчета рассмотренных в данной теме степенных средних.
Известно, что степенные средние различных видов, исчисленные по одной и той же совокупности различаются по своим величинам которые, устойчиво имеют следующее соотношение:
Это соотношение значений степенных средних называется свойством мажорантности средних.