Литература*1

№ п/п

Умение

Алгоритм

1

Найти интеграл , использовав таблицу основ-ных интегралов и основные свойства неопределенного ин-теграла:

1)

;

2)

k = const, k  0

1. Использовать свойства неопределенного интеграла.

2. Использовать таблицу основных интегралов и вычис-лить имеющиеся неопределенные интегралы.

3. Записать ответ

2

Найти интеграл мето-дом замены переменной

1. Подобрать замену переменной:

или .

2. Выразить подынтегральную функцию через новую переменную

.

3. Выразить dx через t и dt, используя равенства

или .

4. Записать данный интеграл по формуле замены пере-менной

.

5. Применить к полученному интегралу основные свойства неопределенного интеграла и воспользоваться таблицей основных интегралов.

6. Вернуться от переменной t к исходной переменной x, подставив

3

Найти интеграл мето-дом интегрирования по частям

1. Представить подынтегральное выражение в виде произведения .

2. Найти и .

3. Применить формулу интегрирования по частям:

.

4. Найти интеграл .

5. Подставить результат в найденное в пункте (3) выражение

4

Вычислить интеграл от дробно-рациональной функции

1. Убедиться, что данная функция является правильной дробью. В противном случае выделить целую часть.

2. Представить дробь в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

3. Разложить знаменатель дроби на произведение линей-ных и квадратичных множителей, используя раздел 1.3 юниты.

4. Разложить правильную дробь на сумму простейших дробей.

5. Используя свойства интеграла и табличные формулы, найти интегралы от каждого слагаемого

№ п/п

Умение

Алгоритм

5

Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона–Лейбница

1. Найти одну из первообразных F(x) функции f(x).

2. Вычислить значение первообразной F(x) в точках x = a и x = b.

3. Вычислить значение определенного интеграла по формуле

6

Вычисление определенного интеграла методом замены переменной

1. Выбрать замену переменной ( – моно-тонная непрерывно дифференцируемая функция).

2. Перейти в подынтегральном выражении от переменной x к новой переменной t:

.

3. Найти пределы интегрирования по новой переменной t из равенств:

.

4. Записать данный интеграл по формуле замены пере-менной

.

5. Вычислить определенный интеграл в правой части последнего равенства по формуле Ньютона–Лейбница

7

Применение определенного интеграла к вычислению:

а) площадей плоских фигур;

б) объемов тел вращения

а. Вычисление площадей плоских фигур

1. Построить данные кривые и ограниченную ими область.

2. Определить, является ли данная область правильной относительно оси Oy –

или правильной относительно оси Ox –

,

и если такой не является, то разбить ее на конечное число областей указанного вида.

3. Вычислить площадь каждой из областей типа по формуле

,

а площадь каждой из областей типа по формуле

.

4. Сложить полученные значения площадей всех областей.

б. Вычисление объемов тел вращения

1. Построить кривые и область, ими ограниченную.

2. Если данная область – криволинейная трапеция

,

то объем тела, образованного вращением области D вокруг оси Ox, вычислить по формуле

№ п/п

Умение

Алгоритм

В случае, когда данная область – область типа

,

объем тела, образованного вращением области вокруг оси Ox, вычислить по формуле