1.4. Методы интегрирования некоторых тригонометрических и иррациональных выражений
В этом параграфе
для интегралов от некоторых классов
тригонометрических и иррацио-нальных
выражений будут даны рационализирующие
подстановки, то есть замены переменной,
приводящие исходный интеграл к интегралу
от рациональной дроби. Ниже через
будем обозначать рациональные функции
своих аргументов.
I.
.
Интегралы от выражений, рационально зависящих от sinx и cosx, всегда сводятся к интегралу от рациональной дроби универсальной подстановкой:
.
Действительно:
,
,
,
.
Подставляя в подынтегральное выражение вместо sinx, cosx и dx их выражения через t и dt, получим интеграл от рациональной дроби (формулу интегрирования тригонометрических выражений):
.
Пример
.
Однако в частных случаях предпочтительнее использование других подстановок, которые приводят к интегрированию более простых рациональных дробей, чем при использовании универсальной подстановки. А именно:
а) если подынтегральная функция нечетна относительно sinx, то есть при замене sinx на –sinx она лишь меняет знак, то делают подстановку cosx = t;
б) если подынтегральная функция нечетна относительно cosx, то есть при замене cosx на –cosx она лишь меняет знак, то делают подстановку sinx = t;
в) если подынтегральная функция при замене одновременно и sinx, и cosx на –sinx и –cosx не меняется, то делают подстановку tgx = t.
Примеры:
1. Найти
.
Решение.
Подынтегральная
функция меняет знак при замене cosx
на –cosx
(имеет место случай б).
Используем замену переменной sinx
= t.
Тогда
,
и
.
Интегрируя, получим
.
Возвращаясь к переменной x, будем иметь
.
2. Найти
.
Решение.
Подынтегральная
функция при замене sinx
и cosx
на –sinx
и –cosx
не меняется (имеет место случай в).
Используем замену переменной tgx
= t.
Тогда
,
,
и
.
II.
,
где m,
n
– целые неотрицательные числа. К этим
интегралам применяют так называемый
метод понижения степени: с помощью
известных формул из тригонометрии
исходный интеграл преобразуется в сумму интегралов от произведений степеней sin2x и cos2x с меньшими показателями.
Пример
.
III. Интегралы вида
сводятся к табличным с помощью формул:
,
,
.
Пример
.
IV. Рассмотрим рационализирующие подстановки для интегралов от иррациональных выражений вида
,
где n,…,m – целые числа.
Пусть s
– наименьшее общее кратное чисел n,…m.
Тогда замена переменной
приведет исходный интеграл к интегралу
от рациональной дроби.
Пример.
Найти
.
Решение. Наименьшее
общее кратное чисел 2 и 3 равно 6. Положим
.
Тогда
,
,
и
.
V. Интегралы вида:
а)
,
б)
,
в)
тригонометрическими
подстановками, соответственно: а)
,
б)
,
в)
сводятся к уже рассмот-ренным интегралам
вида
.
Пример.
Найти
.
Решение. Положим
.
Тогда
,
и исходный интеграл преобразуется в
интеграл
вида II. Интегрируя его, получим
.
Возвращаясь к переменной x, окончательно будем иметь
.
(Заметим, что в
интеграле
использование тригонометрической
подстановки нецелесообразно, так как
гораздо проще интеграл берется с помощью
степенной подстановки
.
Действительно, дифференцируя это
равенство, получим
или
.
Тогда получим
).
К рассмотренным
интегралам могут быть преобразованы
интегралы
,
если из квадратного трехчлена выделить
полный квадрат суммы и сделать линейную
замену переменной.
Отметим, что существуют другие методы интегрирования интегралов , которые мы здесь не рассматриваем.