1.3. Интегрирование рациональных функций
1. Рациональными функциями называются многочлены P(x) и рациональные дроби , представляющие собой отношение двух многочленов P(x) и Q(x). Приведем необходимые для дальнейшего сведения из алгебры о рациональных функциях. Доказательства приведенных ниже утверждений можно найти в [5].
Пусть
– многочлен степени n,
где
.
Число a
называется корнем
или нулем
многочлена
,
если
.
Теорема Безу. Многочлен делится на x – a без остатка тогда и только тогда, когда число a является корнем многочлена .
Таким
образом,
.
Корень a
называется
k-кратным,
если
,
где
.
При k
= 1 корень называется простым.
Будем рассматривать
многочлены с действительными
коэффициентами.
Квадратный трехчлен
,
где p,
q
– действительные числа, при
имеет действительные корни x1,
x2
и, следовательно, разлагается на линейные
множители с действительными коэффициентами
,
а при
имеет комплексно сопряженные корни
,
,
где
,
и на линейные множители с действительными
коэффициентами не разлагается. В курсе
алгебры доказывается, что всякий
отличный от константы многочлен с
действительными коэффициентами
произвольной степени разлагается на
линейные или квадратичные множители с
действительными коэффициентами.
Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. В противном случае называется неправильной. Всякую неправильную рациональную дробь можно, деля числитель на знаменатель, представить в виде суммы многочлена, называемого целой частью дроби, и правильной рациональной дроби.
Например:
.
Будем теперь рассматривать правильные рациональные дроби с действительными коэффи-циентами многочленов в числителе и знаменателе. Среди них назовем простейшими дроби вида:
1.
,
2.
,
где
.
Теорема. Пусть – правильная рациональная дробь, у которой P(x) и Q(x) – многочлены с действительными коэффициентами и разложение знаменателя Q(x) на линейные и квадратичные множители имеет вид
,
где
,
n
– степень
многочлена
Q(x),
.
Тогда дробь представима в виде суммы простейших дробей по правилу:
,
(1.4)
где
– действительные
числа, называемые
неопределенными коэффициентами.
Тождество (1.4) называется разложением дроби на простейшие. Неопределенные коэффи-циенты находятся однозначно.
Практическое правило нахождения неопределенных коэффициентов:
1. Умножаем равенство (1.4) на общий знаменатель всех дробей. Получим тождественное равенство двух многочленов.
2. Далее возможны два варианта.
Первый вариант основывается на том, что два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при одинаковых степенях равны. Поэтому, раскрывая скобки и приводя в правой части подобные члены, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и левой частях равенства. Получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов.
Пример.
Разложить дробь
на простейшие.
Решение. Разложим
знаменатель на линейные и квадратичные
множители с действительными коэффициентами
и запишем разложение данной дроби на
простейшие с неопределенными
коэффициентами:
.
Умножая это равенство
на общий знаменатель
,
получим
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и левой частях этого равенства.
При
.
При
.
При
.
Тогда
и
.
Второй вариант составления системы относительно неопределенных коэффициентов: не раскрывая скобок, даем аргументу x столько различных значений, сколько имеется неопреде-ленных коэффициентов, используя в первую очередь корни знаменателя. (Нужно при этом следить за тем, чтобы уравнения в системе были независимыми.)
Пример.
Разложить дробь
на простейшие.
Решение. Представим дробь в виде суммы простейших с неопределенными коэффициентами
.
Умножая это равенство на общий знаменатель, получим
.
Будем давать x последовательно значения 1, 2, –3. Получим систему
5 = –4A, 7 = 5B, –3 = 20C,
откуда
,
,
и
.
2. Перейдем к методам интегрирования простейших дробей. Для интеграла от дроби 1-го типа имеем:
Рассмотрим интеграл от дроби 2-го типа при k = 1:
,
где .
Выделим в числителе
производную квадратного трехчлена
и преобра-зуем интеграл в сумму двух
интегралов:
.
Замена
переменной
в первом интеграле приводит его к
табличному интегралу (III). Второй
интеграл после выделения из квадратного
трехчлена полного квадрата суммы
и замены переменной
преобразуется в табличный интеграл
(X). В итоге получим
.
Интеграл
,
где
и k
> 1, после выделения в числителе
произ-водной квадратного трехчлена
представляют, как и выше, в виде суммы
двух интегралов, один из которых заменой
сводится к табличному интегралу (II), а
второй интегрированием по частям
сводится к рассмотренным выше интегралам.
Итак, интегралы от простейших рациональных дробей выражаются через элементарные функции. А так как всякая рациональная дробь представима в виде суммы многочлена и простейших дробей, то интегралы от всякой рациональной функции выражаются через элемен-тарные функции.
Пример.
Найти
.
Решение. Выделяем целую часть дроби
.
Разлагаем
знаменатель дроби на множители с
действительными коэффициентами
.
Разлагаем дробь
на простейшие:
.
Умножая это равенство на общий знаменатель, получаем
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x справа и слева.
При x2:.. A + B = 0.
При x:.. –A + B + C = 0.
При x0:.. A + C = 1.
Отсюда
и
.
Тогда
.