1.2. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле

1.2.1. Замена переменной

Пусть функция монотонна и имеет непрерывную производную на некотором проме-жутке изменения переменной t, функция f(x) непрерывна на интервале, принадлежащем области значений функции , так что определена сложная функция . Тогда справедливо равенство

, (1.2)

называемое формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Действительно, дифференцируя левую часть этого равенства по t по правилу дифферен-цирования сложной функции, получим

.

Отсюда следует, что левая часть равенства (1.2) является неопределенным интегралом по переменной t от функции , то есть совпадает с правой частью этого равенства. Формула (1.2) может быть записана и так:

,

где функция обратная функции .

Замена переменной в неопределенном интеграле во многих случаях позволяет свести его к более простому или даже табличному интегралу по переменной t, найти его и затем вернуться к переменной x.

Примеры

а. Линейная замена переменной

Пример 1. Найти ( ).

Решение. Введем переменную . Тогда , откуда . Используя формулу замены переменной (1.2) и табличный интеграл (VI), получаем

.

Пример 2. Найти .

Решение. Положим . Тогда . Используя формулу замены переменных (1.2) и табличный интеграл (X), получим

,

так что мы можем записать табличный интеграл (X) в более общем виде:

X. .

Аналогично получается табличный интеграл (IX):

IX. .

б. Замена переменной, приводящая к логарифму

Если надо проинтегрировать дробь , производная знаменателя которой лишь постоянным множителем отличается от числителя P(x), то замена Q(x) = t приведет к табличному интегралу (III).

Пример 3. Найти .

Решение. Имеем . Положим . Тогда и .

в. Степенная замена

Пример 4. Вычислить .

Решение. Положим . Тогда , откуда . По формуле замены переменной (1.2), используя табличный интеграл (IV), получим

.

1.2.2. Интегрирование по частям

Пусть и – непрерывно дифференцируемые функции на некотором промежутке. Тогда дифференциал их произведения равен . Интегрируя это равенство по переменной x, получим , откуда

. (1.3)

Это равенство называется формулой интегрирования по частям. Она позволяет нахождение одного интеграла свести к нахождению более простого интеграла. Рассмотрим два класса функций f(x), которые целесообразно интегрировать по частям, и укажем, что в этих случаях при представлении подынтегрального выражения f(x)dx в виде произведения udv следует брать в качестве u, а что в качестве dv. Ниже через P(x) обозначен многочлен.

I. . Следует полагать .

. Следует полагать .

. Следует полагать .

II. . Следует полагать .

. Следует полагать .

. Следует полагать .

Пример 1. Найти .

Решение. Положим u = x, . Тогда , и по формуле интегрирования по частям получим

.

Пример 2. Найти .

Решение. Положим , .

Тогда и по формуле интегрирования по частям будем иметь

.