2.1.3. Геометрический смысл верхних и нижних интегральных сумм и определенного интеграла от неотрицательной функции

Пусть на отрезке [a, b] функция f(x) неотрицательна. Назовем криволинейной трапецией фигуру, ограниченную отрезком [a, b] оси x, дугой AB графика функции f(x) и прямыми x = a и x = b (рис. 1).

Рис. 1

Каждый член нижней интегральной суммы равен площади прямоугольника высоты , имеющего основанием отрезок , а вся нижняя интегральная сумма равна площади, составленной из таких прямоугольников ступенчатой фигуры, вписанной в криволинейную трапецию (на рисунке эта ступенчатая фигура заштрихована). Аналогично верхняя интегральная сумма равна площади описанной около криволинейной трапеции ступенчатой фигуры. Тогда определенный интеграл, являющийся общим пределом нижних и верхних интегральных сумм, равен общему пределу площадей, вписанных в криволинейную трапецию и описанных около нее ступенчатых фигур, который и принимается за площадь криволинейной трапеции. Таким образом, мы приходим к следующему геометрическому смыслу определенного интеграла: определенный интеграл от неотрицательной на отрезке [a, b] функции f(x) равен площади криволинейной трапеции aABb.

2.1.4. Основные свойства определенного интеграла

1. (ибо при любая интегральная сумма равна ).

2. Линейность определенного интеграла. Для любых двух интегрируемых на отрезке [a, b] функций f(x) и g(x) и любых чисел  и  справедливо равенство

. (2.2)

Действительно, пусть разбиение отрезка [a, b] на отрезки и точки i = 1,…,n, будут общими для всех трех интегралов в равенстве (2.2). Тогда для интегральных сумм этих интегралов, как для сумм из конечного числа слагаемых, справедливо равенство

.

Переходя в этом равенстве к пределу при , получим доказываемое утверждение.

3. Аддитивность определенного интеграла по области интегрирования. Если отрезок [a, b] разбит точкой c на два отрезка [a, c] и [c, b] и f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то

. (2.3)

Действительно, так как не зависит от способа разбиения отрезка [a, b] на n частей, то можно рассматривать лишь те разбиения, для которых точка c входит в число точек деления. Тогда это разбиение отрезка [a, b] порождает разбиения отрезков [a, c] и [c, b]: и и справедливо равенство

.

Переходя в этом равенстве к пределу при и учитывая, что при этом будет также и , получим доказываемое утверждение.

Следствие. Равенство (2.3) справедливо при любом расположении трех точек a, b, c. Действительно, в случае a < b < c по доказанному имеем

,

откуда

.

Доказательство в остальных четырех случаях аналогично.

Следующие два свойства могут быть доказаны подобно тому, как доказывались свойства 1 и 2.

4. Монотонность определенного интеграла. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a, b] и для любых , то

. (2.4)

5. Оценка модуля интеграла. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то

. (2.5)

Для непрерывной на отрезке [a, b] функции f(x) из свойств 1, 4 и 5 вытекает

следствие: . (2.5’)

6. Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то существует по крайней мере одна точка на отрезке [a, b] такая, что

. (2.6)

Доказательство. Пусть , так что для любых . Тогда, в силу монотонности и линейности определенного интеграла, имеем

и, деля на (b – a), получаем

.

Так как непрерывная на отрезке функция принимает все промежуточные значения между наименьшим и наибольшим, то найдется по крайней мере одна точка на отрезке [a, b] такая, что

,

откуда следует доказываемое равенство (2.6).

Геометрический смысл теоремы о среднем. Для непрерывной на отрезке [a, b] неотрица-тельной функции f(x) найдется на отрезке [a, b] по крайней мере одна точка такая, что криволи-нейная трапеция aABb равновелика прямоугольнику, основанием которого служит отрезок [a, b], а высота равна значению функции (рис. 2).

Рис. 2