10. Случайные сигналы и их основные характеристики. Функция корреляции. Характеристическая функция. Распределение Гаусса. Распределение Релея(Хазан)

Случайные сигналы — сигналы, мгновенные значения которых (в отличии от детерминированных сигналов) не известны, а могут быть лишь предсказаны с некоторой вероятностью, меньшей единицы. Характеристики таких сигналов являются статистическими, то есть имеют вероятностный вид. Существует 2 основных класса случайных сигналов. Во-первых, это шумы — хаотически изменяющиеся во времени электромагнитные колебания, возникающие в разнообразных физических системах из-за беспорядочного движения носителей заряда. Во-вторых, случайными являются все сигналы, несущие информацию, поэтому для описания закономерностей, присущих осмысленным сообщениям, также прибегают к вероятностным моделям.

Вероятность. Современная теория вероятностей представ­ляет собой аксиоматизированную ветвь математики, обобщив­шую обширный эмпирический материал, накопленный наукой при изучении разнообразных случайных явлений.

В основе теории вероятностей лежит понятие полного множества «элементарных исходов» или случайных событий Ω = {A1, А2,...,Аn...}. Символы Ai означают всевозможные исходы некоторого случайного эксперимента. Каждому собы¬тию ей сопоставлено вещественное число P(Ai), которое называется вероятностью этого события.

Принимаются следующие аксиомы:

1) вероятность неотрицательна и не превышает единицы: ;

2) если A_i и A_j – несовместимые события, то P(A_i + A_j) = P(A_i) + P(A_j);

3) сумма всех событий, содержащихся в Ω, есть достоверное событие:

Функция распределения и плотность вероятности

Пусть X - случайная величина. Исчерпывающее описание статистических свойств X можно получить, располагая неслучайной функцией F(x) веществен­ного аргумента х, которая равна вероятности того, что случайное число из X примет значение, равное или меньшее конкретного х: F(x) = P(X  x).

Функция F(x) называется функцией распределения слу­чайной величины X. Если X может принимать любые зна­чения, то F(x) является гладкой неубывающей функцией, значения которой лежат на отрезке 0  F(x)  l. Имеют место следующие предельные равенства: F (- ) = 0, F () = 1.

Производная от функции распределения р(х) = dF/dx есть плотность распределения вероятности (или, короче, плотность вероятности) данной случайной величины. Очевидно что т.е. величина р(х)dx есть вероятность попадания случайной величины Х в полуинтервал (х, х + dx].

Для непрерывной случайной величины Х плотность вероятности р(х) представляет собой гладкую функцию. Если же Х – дискретная случайная величина, принимающая фиксированные значения {х₁, х₂,…, х_n,…} с вероятностями {Р₁, Р₂,…, Р_n,…} соответственно, то для нее плотность вероятности выражается как сумма дельта-функций: В обоих случаях плотность вероятности должна быть неотрицательной: и удовлетворять условию нормировки

Усреднение. Моменты случайной величины Результатами экспериментов над случайными величинами, как правило, служат средние значения тех или иных функций от этих величин. Если (х) - известная функция от х (исхода слу­чайного испытания), то, по определению, ее среднее значение

.

Наибольший вклад в сред­нее значение дают те участки оси х, где одновременно велики как усредняемая функция (х), так и плотность вероятности р(х).

В статистической радиотехнике широко применяются особые числовые характеристики случайных величин, назы­ваемые их моментами.

Простейшим является момент первого порядка, так назы­ваемое математическое ожидание которое служит теоретической оценкой среднего значения случайной величины, получаемого в достаточно обширных се­риях испытаний.

Момент второго порядка является средним квадратом случайной величины.

Используются также центральные моменты случайных величин, задаваемые следующей общей формулой:

Важнейший центральный момент – диспер­сия

Очевидно, что

Величина _Х, т.е. квадратный корень из дисперсии, назы­вается средним квадратическим отклонением, которое служит для количественного описания меры разброса результатов отдельных случайных испытаний относительно математическо­го ожидания.

Функция корреляции

Для определения степени похожести двух процессов u1(t) и u2(t) служит функция корреляции: (1) здесь  – время задержки сигнала u2(t).

На рис. приведена блок-схема коррелометра, алгоритм которого соответствует этой формуле

Здесь ЛЗ - линия задержки. Роль интегратора при практической реализации коррелометра может играть фильтр низких частот (ФНЧ).

Точке 1 соответствует формула (1), точке 2 соответствует формула (2):

(2)

Таким образом функция корреляции существует на всей оси  времени задержки от до

Если u1(t) и u2(t) два различных процесса, то функцию корреляции для определенности часто называют взаимокорреляционной функцией (ВКФ).

Е сли u1(t) = u2(t) = u(t), как в случае, изображенном на рисунке ниже, то функцию корреляции называют автокорреляционной функцией (АКФ). АКФ характеризует похожесть функции u(t) и ее копии, задержанной на различное время . Функция автокорреляции в отличие от взаимокорреляционной функции является функцией четной. Т. е. но .

Характеристическая функция

В теории вероятности большую роль играет статистическое среднее вида называемое характеристической функцией случайной величины Х.

Характеристическая функция есть преобразование Фурье от плотности вероятности, поэтому

Нормальное (Гауссовское) распределение

В теории случайных сигналов фундаментальное значение имеет гауссова плотность вероятности

содержащая два числовых параметра m и σ. График данной функции представляет собой колоколообразную кривую с единственным максимумом в точке x = m (рисунок 1).

Рис. 1

Непосредственным вычислением можно убедиться, что параметры гауссова распределения имеют смысл соответственно математического ожидания и дисперсии:

Функция распределения гауссовой случайной величины:

Распределение Релея

П лотность вероятности мгновенных значений огибающей узкополосного случайного процесса, устанавливаемая выра­жением (1): , известна под названием закона Рэлея. Соответствующий график (рис. ниже) наглядно показывает, что наиболее вероятны некоторые средние (порядка _X) значения огибающей. В то же время маловероятно, чтобы огибающая принимала значения как близкие к нулю, так и значительно превосходящие среднеквадратичный уровень _X узкополос­ного процесса.

Проводя усреднение с помощью плотности вероятности (1), находим среднее значение огибающей и ее дисперсию

Располагая одномерной плотностью вероятности огибаю­щей, можно решить ряд задач теории узкополосных слу­чайных процессов, в частности, найти вероятность превыше­ния огибающей некоторого заданного уровня.