4.2 Експериментальні дослідження

4.2.1 Опис лабораторної установки

Установка Обербека зображена на (рис. 4.2): 1-хрестовина з вантажами , 2-вантаж т , 3‒ верхня платформа. Хрестовина складається з шківа радіуса r, закріпленого на осі, на якій розташовані чотири спиці з вантажами m_i.

Рисунок 5.1 Схема лабораторної установки Обербека.

Вантаж 2 можна закріплювати на різних відстанях від осі обертання. До шківа одним кінцем прикріплений шнур, на іншому підвішений вантаж масою т. Якщо намотати шнур, то вантаж підніметься на висоту h. Відпущений вантаж т починає падати і приводить шків в прискорений обертальний рух.

4.2.2 Порядок виконання роботи

1. Виміряти штангенциркулем радіус шківа r.

2. Визначити масу вантажу т.

3 Зняти з хрестовини чотири тіла масою m_і .

4 Закріпити вантаж т на кінці шнура, намотати шнур на шків, слідкуючи за тим, щоб шнур був намотаний в один шар.

5 Заміряти висоту підняття вантажу h.

6 Відпустити хрестовину і заміряти час падіння t₁ вантажу т з висоти h кілька разів.

7 Закріпити на спицях чотири вантажі m_і на визначеній відстані R від осі шківа.

8 Відпустити хрестовину і заміряти час падіння t₂ вантажу т з висоти h кілька разів.

4.3 Обробка результатів вимірювання

4.3.1 Обробка прямих вимірювань

1 Обчислити середні значення маси m, часу t₁ і t₂ ,радіуса шківа r, висоти h.

2 Обчислити похибки маси Δm, часу Δt₁ і Δt₂ ,радіуса шківа Δr, висоти Δh.

4.3.2 Обробка непрямих вимірювань

1 Знайти середнє значення моменту інерції тіла масою т_i.

2 Обчислити похибку вимірювання моменту інерції тіла масою т_i.

3 Для перевірки знайденого результату зрівняти його з результатом, обчисленого за формулою:

I_і= т_i ∙r² (4.11)

5.3.3 Зміст звіту

Звіт повинен мати: таблицю заміряних величин; результати розрахунків моменту інерції вантажу; вивід формул відносної похибки моменту інерції I за формулами (4.10) і (4.11).

5.4 Контрольні запитання

1. Вкажіть порядок виконання роботи.

2. Які прямі вимірювання проводяться в даній роботі?

3. Що називається моментом інерції тіла відносно осі, що проходить скрізь центр тяжіння?

4. Що називається моментом імпульсу відносно точки О.

5. Укажіть основний закон динаміки обертального руху.

6. Який напрям моменту сили в установці Обербека?

7. Укажіть робочу формулу даної роботи.

8. Що називають довіреним інтервалом?

5 Визначення прискорення вільного падіння за допомоги математичного маятника

Мета роботи: визначення прискорення сили тяжіння за допомогою математичного маятника.

5.1 Теоретичні дослідження

При виконанні лабораторної роботи слід знати: математичним маятником називають матеріальну точку, підвішену на довгій нерозтяжній нитці довжиною -l, яка здійснює коливання під дією сили тяжіння.

Практично це кулька, розміри якої значно менші довжини нитки l , а маса m значно більше маси нитки (рис. 9.1).

Рисунок 6.1 Фізична модель математичного маятника.

Довжину дуги МN, за якою рухається кулька, у зв'язку з малою величиною кута α необхідно замінити відрізком S.

Розкладемо силу тяжіння Р на складові: за напрямком нитки -f_n і за перпендикулярним напрямком, співпадаючим з напрямком руху кульки - f_τ

Сила -f_n натягує нитку маятника, а сила -f_τ викликає прискорення кульки, повертаючи її в положення рівноваги. З силового трикутника випливає:

f_τ = -Рsіn α = -mgsin α . (5.1)

Знак «-» вказує на те, що напрям зміни кута протилежно направлений

силі f_τ.

Враховуючи те, що при малих кутах sin α ≈ α , замінимо α відношенням S/l

f_τ = - mgS/l • (5.2)

Із останнього співвідношення випливає, що рухаюча сила пропорційна відхиленню S і протилежна йому по знаку. Отже, нехтуючи тертям об повітря і в підвісі, при малих кутах відхилення коливання можна вважати гармонічними, тобто такими, які проходять за законом:

S = Acos (ωt +φ₀), (5.3)

де S - величина відхилення в будь-який момент часу; A - амплітуда

коливань; ω - циклічна частота; φ₀ - початкова фаза.

Обчислимо власну частоту і період коливань математичного маятника, скориставшись законом збереження механічної енергії

Максимальна потенціальна енергія кульки:

П_т=тgh = тgl(1-соs α)=2тgl sin²α/2=1/2тglα². (5.4)

Максимальна кінетична енергія кульки

К_m=т V_m ²/2=0.5тS^гω²=0.5тl²а²ω² (5.5)

Прирівнюючи вирази (5.4) і (5.5) та зробивши відповідні скорочення,

Отримаємо:

ω = . (5.6)

Період коливань математичного маятника:

T=2π/ω = 2π (5.7)

Звідси маємо, що період коливань при малих кутах відхилення не залежить від маси маятника і амплітуди його коливань. З формули (5.7) випливає:

g=4π²l/Т² (6.8)

Період коливань можна розрахувати за формулою:

Т=t/п, (5.9)

де t час достатньо великої кількості коливань; п - кількість коливань.

5.2 Експериментальні дослідження

5.2.1 Опис лабораторної установки

Маятник являє собою важку кульку, підвішену в точці підвісу на довгій нитці, довжина якої може змінюватись. До лабораторної установки додається лінійка для вимірювання довжини маятника і секундомір для визначення періоду коливань.

5.2.2 Порядок виконання роботи

1 За допомоги лінійки виміряти довжину маятника. Вимірювання необхідно проводити декілька разів.

2 Відхиливши маятник на малий кут (4-5°), знайти період коливань.

3 Виміряти масу кульки і амплітуду коливань (по початковому відхиленню). обчислити максимальну енергію і швидкість кульки.

5.3 Обробка результатів вимірювання

5.3.1 Обробка прямих вимірювань

1 Обчислити середні значення довжини фізичного маятника -l,часу -t, масу металевої кулі –m, амплітуду коливань А.

2 Обчислити похибки вимірювання довжини фізичного маятника -Δl,часу -Δt, масу металевої кулі –Δm, амплітуду коливань ΔА.

5.3.2 Обробка не прямих вимірювань

1 Обчислити середні значення: прискорення сили тяжіння –g, максимальної енергії - К_m , максимальної швидкості - V_m .

2 Обчислити похибки вимірювань: прискорення сили тяжіння –Δg, максимальної енергії - ΔК_m , максимальної швидкості - ΔV_m .

5.4 Зміст звіту

Звіт повинен містити: мету роботи, схему лабораторної установки, результати вимірювань, зведені до таблиць, статистичну обробку результатів вимірювань, короткі висновки.

5.5 Контрольні запитання

1. Під дією яких сил відбуваються гармонічні коливання?

2. Виведіть формулу періоду коливань математичного маятника.

3. Чому формула (5.9) придатна тільки у випадку малих амплітуд коливань?

4. Запишіть диференційне рівняння вільних коливань, що не затухають.

6 Визначення прискорення вільного падіння за допомогою

фізичного маятника

Мета роботи: визначення прискорення вільного падіння шляхом вимірювання періодів коливань обертального маятника.

6.1 Теоретичні дослідження

Слід знати, що фізичним маятником називається тверде тіло довільної форми, здатне виконувати малі коливання навколо горизонтальної осі обертання. Масу маятника не можна вважати зосередженою в точці.

Нехай маятник виконує коливання навколо осі, яка проходить через точку О (рис 6.1), перпендикулярно площині креслення. Точка О' - центр тяжіння маятника. Розкладемо силу тяжіння маятника Р на дві складові: f_n - по напряму 00' і f_τ - перпендикулярно їй. Сила f_τ - створює обертальний момент:

М=R·f_τ = - R·P sin α, (6.1)

де R - відстань від осі обертання до центру тяжіння.

f_τ = - Р sіп α. (6.2)

Знак "-" вказує, що напрям зростання кута відхилення протилежний напряму сили.

Згідно основному рівнянню обертального руху:

М = I ε = I ä, (6.3)

де I - момент інерції маятника - відносно осі О, ε = ä - кутове прискорення.

Підставляючи в формулу (6.3) вираз для М з рівняння (6.1), отримаємо:

I ä = - R·Р·siп α. (6.4)

Для малих кутів відхилення sіn α ≈ α, звідки

I ä == R Р α. (6.5)

Рисунок 6.1 - Модель фізичного маятника.

Замінюємо Р на тg, поділяючи обидві частини рівняння на I , будемо мати:

ä = - R m g α/І. (6.6)

Величина Rmg/І - позитивна константа. Таким чином, кутове

прискорення ä пропорційне α і протилежне йому за знаком, що є ознакою гармонічного коливального руху. Зрівнюючи формули ω² α = ä і (6.6), маємо

ω² = R m g α/І. (6.7)

Виразивши ω через період коливань Т і підставивши у формулу (6.7), маємо

2π/Т= (6.8)

Звідки період, коливань фізичного маятника

Т = 2π . (6.9)

Величина І/тR має розмір довжини. Позначивши її через l, запишемо рівняння (6.8) в такому вигляді:

Т = 2π . (6.10)

Ця формула за виглядом збігається з формулою для періоду коливань математичного маятника. Тому вираз l = I/ тR називають приведеною довжиною фізичного маятника.

Приведена довжина фізичного маятника – це довжина такого ма­тематичного маятника, період коливань якого дорівнює періоду коливань даного фізичного маятника з масою т моментом інерції I і відстанню між центром інерції і віссю R.

Відкладемо від осі обертання О за напрямком ОО₁ відстань ОО₁ рівну приведеній довжині фізичного маятника l (див. рис. 6.1). Точка О₁ називається точкою коливання і має такі властивості: якщо перемістити вісь обертання О в центр обертання О₁, то період коливань фізичного маятника не зміниться.

Для цього достатньо показати, що приведена довжина l фізичного маятника з віссю О дорівнює приведеній довжині l₁ того ж фізичного маятника з віссю О_1.

Згідно теоремі Штейнера, момент інерції тіла I, відносно даної осі обертання, дорівнює сумі моменту інерції I_о відносно осі, що проходить черес центр інерції тіла та паралельно даній , та добутку маси тіла на квадрат відстані між осями.

I=I_о + mR² (6.10)

Поділивши обидві частини цього рівняння на тR, отримаємо для приведеної довжини маятника вираз:

l=I /тR=І₀/тR + R (6.11)

Визначивши І₀/тR через R₁, маємо:

l=R₁+ R (6.12)

де R₁ - відстань від точки 0¹ до точки 0₁ (див. рис. 6.1). Згідно формули (6.11), приведена довжина фізичного маятника з віссю О¹ l₁ =(I_с + RтК₁)/тR₁=(І_с+(l-R)²т)/т(l -R)=

=(I_с + mR²+ml² - 2тlR)/((l-R)т). (6.13)

Але з рівняння (6.11) виявляється, що

Iс+тR² = lRт , (6.14)

тому

l₁ =(lтR+т1²-2тlR)/((l-R)т)=(тl(l-R))/(l-R)т)= l (6.15)

Таким чином, l₁= l. Тобто на фізичному маятнику можна знайти такі дві спряжені точки О і О₁ періоди коливань навколо яких будуть рівні.