§ 8.4. Загальне рівняння динаміки в узагальнених координатах, або рівняння Лагранжу іі роду.

Р озглядаємо механічну систему з голономними, утримуючими, ідеальними в’язями. Система має “р” ступенів вільності. Тому положення механічної системи в довільний момент часу описується координатами q₁, q₂...q_p . Як відомо, загальне рівняння динаміки має вигляд (7.12)

Враховуючи (8.3), суму можливих робіт можна виразити через узагальнені сили:

- активні : та

- сили інерції :

Т оді (7.12) має вигляд

Згадаємо, що всі q_i– незалежні, тому попередня сума має місце, якщо кожна з дужок дорівнює нулеві

З агальне рівняння динаміки в узагальнених силах.

К ористуватись на практиці формулами (8.8) зможемо тоді, коли зуміємо визначати на практиці узагальнені сили інерції, бо як визначати узагальнені активні сили ми знаємо (§8.2.1). Виразимо узагальнені сили інерції через кінетичну енергію механічної системи. Скористаємось формулою узагальненої сили (8.2)

де

де

Неважко переконатись, що мають місце так звані тотожності Лагранжа

Тоді або

П ідставимо (8.10) в (8.8) і перенесемо активну узагальнену силу в праву частину

це є диференціальним рівнянням руху механічної системи або рівнянням Лагранжу ІІ роду.

Рівнянь складають стільки, скільки узагальнених координат, тобто “р”.

§ 8.5. Рівняння Лагранжу іі роду для консервативних систем.

Згадаємо, що в консервативній системі діють тільки потенціальні сили, тому . Введемо функцію Лагранжу .

Потенціальна енергія – функція тільки координат, вона не залежить від швидкостей; тому .

Р івняння (8.11) має такий вигляд

т обто

§ 8.6. Застосування рівнянь Лагранжу іі роду для складання диференціальних рівнянь руху практичної моделі механічної системи.

Об’єкт вивчення: М. С.

Кількість ступенів вільності

Вид в’язей?

Вид руху тіл

Вибір узагальнених координат

Сили активні

Кінетична енергія

Узагальнені активні сили

Рівняння Лагранжу ІІ роду

Похідні ,

неідеальні

сили тертя

Питання для самоконтролю.

1. Що називається узагальненими координатами?

2. Тіло обертається навколо нерухомої осі. Який параметр вигідно вибрати за узагальнену координату?

3. Що називається узагальненою швидкістю?

4. Яка залежність між лінійною швидкістю “і”-тої точки системи і її узагальненими швидкостями?

5. Запишіть формулу, яка визначає узагальнену силу.

6. Якою величиною (скалярною чи векторною) є узагальнена сила?

7. Чому дорівнює кількість узагальнених сил?

8. Від чого залежить одиниця вимірювання узагальненої сили?

9. За якою формулою визначається узагальнена сила сил потенціального поля?

10. Яка умова рівноваги голономної системи в узагальнених координатах?

11. Запишіть рівняння Лагранжа другого роду. Чому дорівнює число цих рівнянь для кожної механічної системи?

12. Запишіть рівняння Лагранжа другого роду для консервативної системи.

Тема 9. Динамічне рівняння руху машини.

Ця тема пов’язана з курсом „Теорія механізмів і машин” та спеціальними курсами за Вашим майбутнім фахом.

Література.

1. ТММ под редакц. К. В. Фролова §4.2 – 4.4

2. Орликов М. Л. «Динамика станков», §1.3

3. «К расчету динамической модели привода металлорежущих станков», 1992 г. Карпенко Т. Н. и др.

Машиною назвемо сукупність твердих тіл, з’єднаних таким чином, що положення і рух кожного залежить від положення і руху однієї ланки, ведучої.

Положення ведучої ланки задаємо одним параметром, тобто, це є система з одним ступенем вільності. В’язі – голономні, стаціонарні, ідеальні. Всі ланки розташовані в одній, або в паралельних площинах.

С хематично зобразимо машину так:

Дано:

х арактеристики: інерційні, конструктивні, сили k=1,2..n

i_k=1,2..n_k

Л анка “О” – ведуча, до неї прикладений рушійний момент ,

Завдання: отримати динамічне рівняння руху машини.

План дій такий:

1. Зведемо маси машини до однієї ланки (її назвемо ланкою зведення), таким чином, щоб кінетична енергія машини дорівнювала кінетичній енергії ланки зведення;

2. Замінимо сили, момент пар сил, що діють на машину, однією силою чи однією парою сил, прикладеною до ланки зведення таким чином, щоб сума можливих робіт усіх діючих сил дорівнювала можливій роботі однієї сили чи пари сил, прикладеної до ланки зведення.

3. Застосуємо рівняння Лагранжу другого роду для отримання динамічного рівняння руху машини.

§9.1. Зведення мас.

Визначимо кінетичну енергію машини як суму кінетичних енергій ланок. “k”- та ланка здійснює плоский рух. За узагальнену координату візьмемо кут обертання ведучої ланки . Кутова швидкість ланки “О”

,

де - швидкість центру мас “k”- ої ланки

- кутова швидкість “k”- ої ланки.

В кожну мить швидкості та можна зв’язати з кутовою швидкістю ведучої ланки ω.

Позначимо:

- перша передавальна функція

- друга передавальна функція

Тоді (9.1) має вигляд

Вираз в дужках має розмірність кг*м², тобто моменту інерції, позначимо

Кінетична енергія машини дорівнює

де зведений до “0” – ої ланки осьовий момент інерції є змінна величина, тобто - функція положення, а тому і функція часу t