Контрольні запитання

7.1 Як використовуються операційні методи при розв’язу-ванні диференціальних рівнянь з частинними похідними?

7.2 Що називається оригіналом та зображенням функції-оригіналу дійсного аргументу ?

7.3 Що називають перетворенням Лапласа функції ? Як позначають відповідність між зображенням і оригіналом?

7.4 Властивості зображень.

7.5 Зображення згортки. Властивість згортки.

7.6 Схема побудови розв’язку диференційного рівняння з частинними похідними.

Індивідуальні розрахунково-графічні роботи з матема-тичної фізики

Задача 1 Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння з частинними похідними відносно функції U (x,y)

1.1	1.12
1.2	1.13
1.3	1.14
1.4	1.15
1.5	1.16
1.6	1.17
1.7	1.18
1.8	1.19
1.9	1.20
1.10	1.21
1.11	1.22
1.23	1.29
1.24	1.30
1.25	1.31
1.26	1.32
1.27	1.33
1.28

Задача 2 Знайти загальний розв’язок рівняння, звівши його до канонічного виду

2.1	2.5
2.2	2.6
2.3	2.7
2.4	2.8

2.9	2.18
2.10	2.19
2.11	2.20
2.12	2.21
2.13	2.22
2.14	2.23
2.15	2.24
2.16	2.25
2.17	2.26
2.27	2.31
2.28	2.32
2.29	2.33
2.30

Задача 3

3.1 Поставити задачу про поздовжні коливання важкого стержня довжиною 1, який на одному кінці закріплений так, що зміщення у всіх точках дорівнюють нулю. У момент часу t=0 стержень звільняється, залишаючись закріпленим у верх-ній точці.

3.2 Сформулювати задачу математичної фізики

3.3 Поставити задачу про поздовжні коливання стержня, один кінець якого жорстко закріплений, а до другого кінця в момент часу t=0 прикладається сила величиною At. Стержень перебував у стані спокою.

3.4 Сформулювати задачу математичної фізики

3.5 Поставити задачу про поздовжні коливання стержня, один кінець якого закріплений пружно, а другий вільний, причому в початковий момент часу зміщення в стержні дорівнювали нулю, а швидкості розподілялися за законом е^х-1.

3.6 Сформулювати задачу математичної фізики

3.7 Поставити задачу про поздовжні коливання стержня, один кінець якого жорстко закріплений, а до другого кінця прикладено розтягуючу силу F, яку в момент часу t=0 знято без початкової швидкості.

3.8 Сформулювати задачу математичної фізики

3.9 Поставити задачу про поздовжні коливання стержня, один кінець якого жорстко закріплений, а на другому кінці зосереджено масу М, причому попередньо стержень було розтягнуто на величину .

3.10 Сформулювати задачу математичної фізики

3.11 Поставити задачу про поздовжні коливання стержня, один кінець якого закріплений нерухомо, а до другого в момент часу t=0 прикладають стискаючу силу Р.

3.12 Сформулювати задачу математичної фізики

3.13 Поставити задачу про поздовжні коливання стержня, один кінець якого жорстко закріплений, а за другий кінець стержень розтягнуто до довжини L, причому в момент часу t=0 його відпускають з початковою швидкістю v. Початкова довжина стержня l.

3.14 Сформулювати задачу математичної фізики

3.15 Поставити задачу про поздовжні коливання стержня, один кінець якого жорстко закріплений, а на другому містить-ся вантаж маси m. Стержень попередньо був розтягнутий си-лою Р, дія якої в початковий момент часу раптом припиня-ється.

3.16 Сформулювати задачу математичної фізики

3.17 Поставити задачу про поздовжні коливання стержня, один кінець якого жорстко закріплений, а до вільного кінця в момент часу t=0 прикладають збурюючу силу, яка змінюється за законом A sin t і напрямлена вздовж осі стержня.

3.18 Сформулювати задачу математичної фізики

3.19 Поставити задачу про поздовжні коливання стержня, один кінець якого закріплений нерухомо, а до другого кінця прикладено силу F(t), яку в момент часу t=0 раптом знімають без початкової швидкості.

3.20 Сформулювати задачу математичної фізики

3.21 Поставити задачу про поздовжні коливання стержня, один кінець якого закріплений пружно, а другий – вільний. Причому в момент часу t=0 стержень перебував у стані спо-кою, а початкові зміщення дорівнювали f(х).

3.22 Сформулювати задачу математичної фізики

3.23 Стержень довжиною 1, один кінець якого жорстко закріплений, виводиться із стану спокою ударом (з імпульсом Р) по його вільному кінцю в напрямку осі стержня. Поставити задачу про поздовжні коливання стержня.

3.24 Сформулювати задачу математичної фізики

3.25 Верхній кінець вертикально підвішеного важкого стержня прикріплений до стелі ліфта, який вільно падає, при-чому досягнувши швидкості v, він раптово зупиняється. Поставити задачу про поздовжні коливання стержня.

3.26 Один кінець стержня х=0 закріплений нерухомо, а на кінці х=1 має місце в’язкий опір з коефіцієнтом в’язкості µ. Стержень попередньо розтягнутий силою Q, дія якої в момент часу t=0 раптово припиняється. Поставити задачу про поздов-жні коливання стержня.

3.27 Сформулювати задачу математичної фізики

3.28 Стержень довжиною L закріплений в точці х=0 і розтягнутий до довжини L₁. поставити задачу про поздовжні коливання стержня, якщо в момент часу t=0 кінець х=L відпу-скається без початкової швидкості.

3.29 Сформулювати задачу математичної фізики

3.30 Поставити задачу про поздовжні коливання стержня, один кінець якого жорстко закріплений, а до вільного кінця прикладено силу Р, причому в момент часу t=0 дія сили раптово припиняється.

3.31 Сформулювати задачу математичної фізики

3.32 Поставити задачу про поздовжні коливання стержня довжиною 1, один кінець якого закріплений нерухомо, а до другого кінця в момент часу t=0 прикладено силу F(t)=At, A=const.

3.33 Сформулювати задачу математичної фізики

Задача 4 Сформулювати і розв’язати задачу математичної фізики.

4.1 0 < x < 1, 0 < t < ,

4.2 0 < x < , 0 < t < ,

4.3 0 < x < 3, 0 < t < ,

4.4 0 < x < 2, 0 < t < ,

4.5 0 < x < , 0 < t < ,

4.6 0 < x < 1, 0 < t < ,

4.7 0 < x < , 0 < t < ,

4.8 0 < x < , 0 < t < ,

4.9 0 < x < 2, 0 < t < ,

4.10 0 < x < 3, 0 < t < ,

4.11 0 < x < 2, 0 < t < ,

4.12 0 < x < 1, 0 < t < ,

4.13 0 < x < , 0 < t < ,

4.14 0 < x < 3, 0 < t < ,

4.15 0 < x < 1, 0 < t < ,

4.16 0 < x < , 0 < t < ,

4.17 0 < x < 3, 0 < t < ,

4.18 0 < x < 2, 0 < t < ,

4.19 0 < x < 1, 0 < t < ,

4.20 0 < x < , 0 < t < ,

4.21 0 < x < 2, 0 < t < ,

4.22 0 < x < , 0 < t < ,

4.23 0 < x < 1, 0 < t < ,

4.24 0 < x < 3, 0 < t < ,

4.25 0 < x < , 0 < t < ,

4.26 0 < x < 2, 0 < t < ,

4.27 0 < x < 3, 0 < t < ,

4.28 0 < x < 1, 0 < t < ,

4.29 0 < x < , 0 < t < ,

4.30 0 < x < 2, 0 < t < ,

4.31 0 < x < 1, 0 < t < ,

4.32 0 < x < 4, 0 < t < ,

4.33 0 < x < 3, 0 < t < ,

З

U

h

адача 5 Поставити і розв’язати методом Фур’є задачу про поперечні коливання струни із закріпленими кінцями, яка в початковий момент часу перебувала в стані спокою і мала форму трикутника

0  x

h=k, k – номер групи. , N – номер варіанту.

Задача 6 Методом Д’Аламбера знайти розв’язок U(x,t) хвильового рівняння

,

що визначає форму однорідної нескінченної струни, якщо в початковий момент часу t=0 форма струни і швидкість точки струни з абсцисою х визначається відповідно функціями (х) і (х)

6.1 (х)=х(2-х), (х)=е-х	6.18 (х)= eх, (х)= x sin x
6.2 (х)=х2,(х)=sin х	6.19 (х)= e2х, (х)= x cos x
6.3 (х)= ех, , (х)=x	6.20 (х)= cos х, (х)=ex
6.4 (х)= sin х, (х)=0	6.21 (х)= cos 2х, (х)=e-x
6.5 (х)= sin х, (х)=cos x	6.22 (х)=х, (х)=e2x
6.6 (х)= cos х, (х)= sin x	6.23 (х)= 2x-5, (х)=2x
6.7 (х)= cos х, (х)=x	6.24 (х)=2e-х, (х)= x2
6.8 (х)= х, (х)=cos x	6.25. (х)= 4eх, (х)=cos x
6.9 (х)=х (1-х), (х)=ех	6.26. (х)= х2-1, (х)=e-2x
6.10 (х)= е-х , (х)=5	6.27 (х)= 1-x2, (х)=cos x
6.11 (х)=х2+х, (х)=е2х	6.28 (х)= x(x+2), (х)= sin x
6.12 (х)=х3, (х)= sin 2x	6.29 (х)= e2х, (х)=0
6.13 (х)= х2-4, (х)=cos 3x	6.30 (х)= e3х, (х)=3x2
6.14 (х)= 4-х2, (х)=2x	6.31 (х)= x3, (х)=1
6.15 (х)= -х, (х)=x	6.32 (х)= x+5, (х)=5x
6.16 (х)= 2-3x, (х)=x2	6.33 (х)=3x2+1, (х)=2x
6.17 (х)= sin 2х, (х)=3x2

Задача 7 Сформулювати і розв’язати задачу математичної фізики.

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

7.7

7.8

7.9

7.10

7.11

7.12

7.13

7.14

7.15

7.16

7.17

7.18

7.19

7.20

7.21

7.22

7.23

7.24

7.25

7.26

7.27

7.28

7.29

7.30

7.31

7.32

7.33

Задача 8 Розв’язати першу мішану задачу для хвильового рівняння в крузі

8.1 0  r < 25, 0 < t < ,

8.2 2 0  r < 24, 0 < t < ,

8.3 3 0  r < 23, 0 < t < ,

8.4 4 0  r < 22, 0 < t < ,

8.5. 5 0  r < 21, 0 < t < ,

8.6. 6 0  r < 20, 0 < t < ,

8.7. 7 0  r < 19, 0 < t < ,

8.8. 8 0  r < 18, 0 < t < ,

8.9. 9 0  r < 17, 0 < t < ,

8.10. 10 0  r < 16, 0 < t < ,

8.11. 11 0  r < 15, 0 < t < ,

8.12. 12 0  r < 14, 0 < t < ,

8.13. 13 0  r < 13, 0 < t < ,

8.14. 14 0  r < 12, 0 < t < ,

8.15. 15 0  r < 11, 0 < t < ,

8.16. 16 0  r < 10, 0 < t < ,

8.17. 17 0  r < 9, 0 < t < ,

8.18. 18 0  r < 8, 0 < t < ,

8.19. 19 0  r < 7, 0 < t < ,

8.20. 20 0  r < 6, 0 < t < ,

8.21. 21 0  r < 5, 0 < t < ,

8.22. 22 0  r < 4, 0 < t < ,

8.23. 23 0  r < 3, 0 < t < ,

8.24. 24 0  r < 2, 0 < t < ,

8.25. 25 0  r < 1, 0 < t < ,

8.26. 0  r < 6, 0 < t < ,

8.27. 4 0  r < 5, 0 < t < ,

8.28. 9 0  r < 4, 0 < t < ,

8.29. 16 0  r < 3, 0 < t < ,

8.30. 25 0  r < 2, 0 < t < ,

8.31. 36 0  r < 1, 0 < t < ,

8.32. 49 0  r < , 0 < t < ,

8.33. 64 0  r < , 0 < t < ,

Задача 9 Сформулювати і розв’язати задачу математичної фізики.

9.1 16 , 0  х < 3, t  0,

9.2 , 0  х < 2, t  0,

9.3 25 , 0  х < 5, t  0,

9.4 16 , 0  х < 4, t  0,

9.5 4 , 0  х < 5, t  0,

9.6 , 0  х < 3, t  0,

9.7 25 , 0  х < 8, t  0,

9.8 9 , 0  х < 2, t  0,

9.9 16 , 0  х < 1, t  0,

9.10 4 , 0  х < 4, t  0,

9.11 9 , 0  х < 10, t  0,

9.12 25 , 0  х < 9, t  0,

9.13 9 , 0  х < 3, t  0,

9.14 , 0  х < 5, t  0,

9.15 4 , 0  х < 7, t  0,

9.16 25 , 0  х < 1, t  0,

9.17 9 , 0  х < 4, t  0,

9.18 , 0  х < 10, t  0,

9.19 4 , 0  х < 2, t  0,

9.20 16 , 0  х < 8, t  0,

9.21 , 0  х < 1, t  0,

9.22 25 , 0  х < 4, t  0,

9.23 16 , 0  х < 6, t  0,

9.24 4 , 0  х < 1, t  0,

9.25 9 , 0  х < 5, t  0,

9.26 25 , 0  х < 6, t  0,

9.27 , 0  х < 12, t  0,

9.28 16 , 0  х < 2, t  0,

9.29 4 , 0  х < 6, t  0,

9.30 36 , 0  х < 3, t  0,

9.31 16 , 0  х < 8, t  0,

9.32 36 , 0  х < 6, t  0,

9.33 25 , 0  х < 10, t  0,

Задача 10 Розв’язати задачу Діріхле для рівняння Лапласа в крузі

10.1 u=0, 0  r  1, ur=1=2++1.	10.7 u=0, 0  r  1, ur=1=2+7–1.
10.2 u=0, 0  r  2, ur=2=2+.	10.8 u=0, 0  r  2, ur=2 = 102 – 2 – 1.
10.3 u=0, 0  r  1, ur=1=22+3+5.	10.9 u=0, 0  r  1, ur=1 = 602 – 5 + 3.
10.4 u=0, 0  r  2, ur=2=2+5+7.	10.10 u=0, 0  r  1, ur=1 = –32 +5 – 2.
10.5 u=0, 0  r  3, ur=3=2.	10.11 u=0, 0  r  3, ur=3 = 2 + 2 .
10.6 u=0, 0  r  1, ur=1=32++2.	10.12 u=0, 0  r  4, ur=4 = 2 – .

10.13 u=0, 0  r  4, ur=4=52+2+2.	10.24 u=0, 0  r  1, ur=1 = 32 + 2 – 2.
10.14 u=0, 0  r  2, ur=2=42+3+1.	10.25 u=0, 0  r  2, ur=2 = – 42 – 3 + 1.
10.15 u=0, 0  r  1, ur=1=2.	10.26 u=0, 0  r  1, ur=1 = – 2 +  – .
10.16 u=0, 0  r  2, ur=2=32 – –1.	10.27 u=0, 0  r  2, ur=2 = 52 –  + .
10.17 u=0, 0  r  1, ur=1=22–5–2.	10.28 u=0, 0  r  1, ur=1 = – 62 +  –2.
10.18 u=0, 0  r  2, ur=2=42–3+1.	10.29 u=0, 0  r  2, ur=2 = 62 + 3 + 1.
10.19 u=0, 0  r  2, ur=2=52–2+1.	10.30 u=0, 0  r  4, ur=4 = 2 – 4 + 2.
10.20 u=0, 0  r  2, ur=2=2–5.	10.31 u=0, 0  r  3, ur=3 = – 2 + 2.
10.21 u=0, 0  r  3, ur=3=–2+3.	10.32 u=0, 0  r  1, ur=1 = –32 – 2 + 1.
10.22 u=0, 0  r  3, ur=3=–22+7.	10.33 u=0, 0  r  2, ur=2 = –52 +  – .
10.23 u=0, 0  r  2, ur=2=2–3+4.

Перелік використаних джерел

1 Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1964. – 286 с.

2 Бабаков И.М. Теория колебаний. – М.: Наука, 1968. – 560 с.

3 Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1967. – 436 с.

4 Гончаренко В.М. Основи теорії рівнянь з частинними похідними. – К.: Вища школа. – 1995. – 352 с.

5 Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. – М.: Высшая школа, 1970. – 710 с.

6 Младов А.Г. Системы дифференциальных уравнений и устойчивость по Ляпунову. – М.: Высшая школа, 1966. – 224 с.

7 Перестюк М.О., Маринець В.В. Теорія рівнянь матема-тичної фізики. – К.: Либідь. – 2006. – 424 с.

8 Полярин А. Д. Справочник по линейным уравнениям мате-

матической физики. – М.: физматлит, 2001, – 576 с.

9 Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической фи-

зики. – М.: Наука, 1975. – 126 с.

11 Соболев С.Л. Уравнения математической физики. – М.: наука. – 1966. – 444 с.

12 Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. ІІ: Учеб. Пособие для студентов втузов. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1966. – 366 с.

93