Задачі для самостійного розв’язування
2.1 Стержень довжиною
l закріплений у точці
х=0 і роз-тягнутий за кінець х=l
до довжини
.
Поставити задачу про поздовжні коливання
стержня, якщо в початковий момент часу
кінець х=l
відпускають без початкової швидкості.
2.2 Сформулювати задачу математичної фізики:
, .
П.У.
Г.У.
2.3 Сформулювати задачу математичної фізики:
, .
П.У.
Г.У.
2.4 Поставити задачу
про поперечні коливання нескінчен-ної
струни, форма якої в початковий момент
часу
харак-теризувалася функцією
,
а швидкість її зміни до-рівнювала 1.
2.5 Поставити задачу
про поперечні коливання струни, якщо
вона закріплена на кінцях х=0 та х=l,
та у початковий момент часу
має форму
і перебуває у стані спокою.
Контрольні запитання
2.1 Які припущення відносно геометричного та фізичного стану стержня слід зробити при виведенні рівняння, яке б описувало поздовжні коливання які виникають у ньому під час розтягу, або стиску внаслідок прикладених зусиль?
2.2 На які фізичні закони спираються при виведенні хвильового рівняння, що описує поздовжні коливання у стержні?
2.3 У чому полягає фізичний зміст коефіцієнта у хвильовому рівнянні ?
2.4 Вигляд хвильового рівняння у випадку важкого стержня.
2.5 З чого складається постановка задачі математичної фізики про поздовжні коливання в стержні?
2.6 Що задають та характеризують початкові умови? Що показують граничні умови? Різновиди граничних умов.
2.7 При яких припущеннях виведено хвильове рівняння для поперечних коливань струни?
2.8 Що визначає
функція
,
яка є розв’язком хвильового рівняння
для поперечних коливань струни?
2.9 Як вільний член
у хвильовому рівнянні
впливає на характер коливань (вільні
коливання чи вимушені)?
2.10 У чому полягає фізичний зміст коефіцієнта у хвильовому рівнянні для поперечних коливань струни?
2.11 З чого складається постановка задачі про поперечні коливання струни?
2.12 Яким чином можна задати початкову форму струни і початкові швидкості точок струни?
2.13 Що відображають граничні умови?
2.14 Що є визначальним у постановці задачі про поперечні коливання нескінченної струни?
Практичне заняття №3
Тема: Методи розв’язання задач про поперечні коливання струни
Основні теоретичні відомості
Розглянемо вільні коливання нескінченної струни
де Т – сила натягу струни, - густина.
Задача про нескінченну струну. Метод Д’Аламбера. Особливістю постановки такої задачі є відсутність граничних умов.
П.У.
Задача про скінченну струну з закріпленими кінцями. Метод Фур’є.
П.У. Г.У.
,
Порядок виконання роботи
3.1 Сформулювати та розв’язати задачу математичної фізики:
П.У.
Відсутність
граничних умов є свідченням того, що це
задача про поперечні
коливання
нескінченної струни, яка у момент часу
не мала ніяких відхилень, але точки
струни отримали початкові швидкості
У цьому випадку ка-жуть, що по струні
поширюються хвилі імпульсу. Для розв’яз-ку
застосовуємо метод
Д’Аламбера:
тут
– швидкість розповсюдження поперечної
хвилі,
,
.
Отже,
3.2 Сформулювати
та розв’язати задачу математичної
фізики. Знайти форму струни у момент
часу
.
П.У.
Відсутність граничних умов є свідченням того, що це задача про поперечні коливання нескінченної струни, яка у момент часу мала форму кубічної параболи і перебувала у стані спокою.
Для розв’язку застосовуємо метод Д’Аламбера
тут
– швидкість розповсюдження поперечної
хвилі,
,
.
Тоді
шукана форма нескінченної
струни при
має вигляд:
3.3 Знайти форму
струни у момент часу
,
якщо постановка задачі має вигляд:
П.У.
Відсутність граничних умов є свідченням того, що це задача про поперечні коливання нескінченної струни, яка у момент часу мала форму синусоїди, швидкість її зміни була сталою та дорівнювала 1.
Для розв’язування застосовуємо метод Д’Аламбера:
Тоді форма нескінченної струни має вигляд:
3.4 Поставити і розв’язати задачу про поперечні коливан-ня струни із закріпленими кінцями, яка при перебуває в стані спокою і має форму параболи.
Поставимо задачу:
П.У.
Г.У.
Застосуємо метод Фур’є, згідно з яким розв’язок шукаємо у вигляді
,
де
При n=2m=0;
при n=2m-1
.
3.5 Поставити і розв’язати задачу про поперечні коливан-ня струни із закріпленими кінцями, яка в початковий момент часу t=0 мала сталу швидкість V=const і таку форму:
Поставимо задачу:
П.У.
Г.У.
Розв’яжемо цю задачу за допомогою метода Фур’є
,
де
3.6 Сформулювати і розв’язати задачу про поперечні коливання струни з наступною постановкою:
П.У.
Г.У.
Це
задача про вільні поперечні коливання
струни із закріпленими кінцями, яка в
початковий момент часу t=0
має форму
і швидкість рівну нулю (перебуває у
стані спо-кою).
,
де
Оскільки
,
то
Як відомо, система функцій
є ортогональною на своєму періоді
,
отже,
При n=3 маємо:
