Контрольні запитання

6.1 У чому полягає постановка задачі нестаціонарної теплопровідності?

6.2 Які крайові задачі виділяють у залежності від способу завдання граничної умови?

6.3 Особливості застосування методу Фур’є до задач теплопровідності.

Практичне заняття № 6 Тема: Стаціонарні процеси. Рівняння Лапласа Основні теоретичні відомості

Рівняння Лапласа в декартових координатах у двовимірному та одновимірному просторах має відповідно ви-гляд та , а в полярних координатах – .

Задача Діріхле про розподіл стаціонарного поля в пластині ставиться так: рівняння Лапласа та граничні умови, які задають функцію U на краю пластини. Наприклад, задача Діріхле для круга

_, Г.У. , згідно з методом Фур’є має розв’язок:

,

де , .

Порядок виконання роботи

6.1 Знайти стаціонарний розподіл температур стержня, якщо на його кінцях підтримується стала температура.

_, Г.У.

або

тоді .

6.2 Знайти стаціонарний розподіл температур між двома концентричними колами з радіусами та причому . Якщо на самих колах весь час підтримують сталу температуру рівну і відповідно.

_, Г.У.

Оскільки функція залежить від r, то

;

,

,

,

,

,

; ; .

та знаходяться з граничних умов

,

,

.

6.3 Знайти розподіл температур у крузі з радіусом R якщо на границі круга температура задається функцією .

Поставимо задачу _, ,

Г.У. .

Розв’язок має вигляд ,

де , .

.

.

Відповідь: .

6.4 Задача Діріхле для круга з радіусом R. Знайти розпо-діл температур у крузі з радіусом R, якщо на границі круга температура задається функцією .

_, , Г.У. .

,

, .

Відповідь:

Задачі для самостійного розв’язування

6.1 Знайти стаціонарний розподіл температур між двома циліндрами зі спільною віссю симетрії і радіусами основ , якщо на бічних поверхнях циліндрів підтримується стала температура і відповідно.

6.2 Розв’язати задачу Діріхле для рівняння Лапласа в крузі, якщо U=0, 0  r  2, U_r=2 = –5² +  – .

Контрольні запитання

6.1 Постановка задачі стаціонарної теплопровідності.

6.2 Задача Діріхле для рівняння Лапласа. задача Неймана. Мішана крайова задача.

6.3 Рівняння Лапласа в полярних та циліндричних коорди-натах.

6.4 Застосування методу Фур’є при розв’язуванні задачі Діріхле для круга.

Практичне заняття № 7

Тема: Застосування операційного числення при роз-в’язуванні диференціальних рівнянь з частинними похід-ними

Основні теоретичні відомості

,

П.У.

Г.У.

де – неперервні функції від , задані на проміжку , – розв’язок для заданого диференційного рівняння в області: , , – довільні сталі.

, ,

– комплексний параметр.

,

.

де .

де , , .

Розглянемо, наприклад, рівняння теплопровідності:

П.У. Г.У.

Припустимо, що – оригінали по змінній Позначимо зображення функції так:

Тоді:

Аналогічно: , .

Г.У. ,

Отже, наша задача: або:

Г.У.

А це диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами і правою частиною. Аналогічно зводяться до звичайних диференціальних рівнянь й інші диференціальні рівняння з частинними похідними.

Таблиця 7.1 – оригінали і відповідні їм зображення

№	Оригінал	Зображення
1	1
2
3
4
5
6
7

продовження таблиці 7.1

	8
9
12
13
14
15
16
17
18
19
20