3. Кинематика и динамика жидкости

Движение жидкостей и газов характеризуется скоростями W и ускорениями частиц в различных точках потока жидкости, а также давлением Р в этих точках.

Различают установившиеся и неустановившиеся движения жидкостей.

Установившимся называется движение, в котором скорость частиц, плотность, температура, давление и расход жидкости в каждой фиксированной точке пространства не изменяются во времени. Для установившегося движения можно записать:

W_x= f(x, y, z), =0.

Пусть, например, жидкость движется в трубопроводе переменного сечения. Скорость жидкости при этом то увеличивается, то уменьшается в зависимости от места в трубопроводе, но в каждом фиксированном сечении она неизменна во времени. Такое движение называют стационарным. При неустановившемся, или нестационарном движении все факторы изменяются во времени, т.е. скорость является не только функцией координаты, но и времени:

W_x= f(x, y, z, ), .

Примером неустановившегося движения является истечение жидкости из резервуара при переменном ее уровне в резервуаре.

Неустановившиеся режимы течения реализуются главным образом в периодических процессах или возникают кратковременно при пусках, остановках, а также изменениях режима работы аппаратов непрерывного действия.

3.1. Режимы движения вязких жидкостей

Исследование механизма движения жидкости показало, что имеют место два резко отличающихся друг от друга режима движения.

Это различие подтверждено в 1883 году опытами английского физика О. Рейнольдса (рис. 3.1). При малых скоростях струйка чернил (1) движется параллельно стенкам труб­ки (2). Этот режим движения называется ламинарным, или слоистым («ламина» в переводе с латинского означает слой).

Рис. 3.1. Схема опыта Рейнольдса

При увеличении скорости движения жидкости линия тока струйки закручивается в виде вихря, а при еще большей скорости движение становится неупорядоченным, частицы движутся по хаотическим траекториям. Линии тока в трубке исчезают в беспорядке бурного турбулентного движения. Этот режим называется турбулентным (от латинского «турбулентус» – беспорядочный).

Исходя из опытных данных и некоторых теоретических соображений О. Рейнольдс установил общие условия, при которых возможно существование того или иного режима и переход из одного режима в другой, а именно, что характер движения жидкости зависит от вязкости , скорости ее движения W, плотности жидкости  и диаметра трубки d.

Для характеристики режима движения введен безразмерный комплекс, учитывающий влияние перечисленных факторов. Этот комплекс впоследствии назван критерием Рейнольдса:

Re = W d / = W d /ν, (3.1)

где  – кинематическая вязкость жидкости.

Границы существования того или иного режима определяются двумя критическими значениями критерия Рейнольдса: Re_кр,н и Re_кр,в. При Re  Re_кр,н всегда имеет место ламинарный режим; при Re Re_кр,в – режим устойчиво турбулентный. Для воды Re_кр,н = 2320 и Re_кр,в = 10000.

В диапазоне Re_кр,н  Re  Re_кр,в режим движения жидкости чаще всего турбулентный, однако он неустойчив. Поэтому этот режим называется переходным, хотя точнее этот диапазон значений критерия Рейнольдса следовало бы называть переходной зоной.

В критерий Рейнольдса входит величина d – это определяющий размер канала, по которому течёт жидкость.

Если труба не круглого сечения, то вводится понятие гидравлического радиуса R_г, который определяется по уравнению:

R_г = ,

где S – площадь сечения потока;

P – смоченный периметр.

Смоченным периметром P называется линия контакта (соприкосновения) живого сечения потока жидкости со стенками, вдоль которых движется поток.

Для открытого канала (рис. 3.2):

R_г = Вh / (2h + В).

Рис. 3.2. Схема открытого канала

Для круглой трубы:

R_г = (d²/4) / (d) = d/4.

В расчетах часто используют понятие эквивалентного диаметра:

d_экв = 4R_г. (3.2)

Для двух сечений установившегося потока идеальной жидкости можно записать:

. (3.3)

Рассмотрим геометри­ческий смысл уравнения Бернулли (рис. 3.3)

Из уравнения (3.3) видно, что каждый из его членов имеет размерность длины. Величина Z представ­ляет собой геометри­ческую высоту центра тяжести сечения рассматриваемой элементарной струйки над плоскостью сравнения. Она называется геометрической высотой или геометрическим напором.

Второе слагаемое представляет собой высоту, показываемую пьезометром. Эта высота соответствует гидродинамическому давлению в центре тяжести сечения и называется пьезометрической высотой или пьезометрическим напором.

Из теоретической механики известно, что выражение определяет высоту, с которой должно упасть тело, чтобы в конце падения его скорость равнялась W. В гидравлике выражение называется скоростным или динамическим напором. Оно также имеет размерность длины.

Согласно уравнению (3.3) сумма трех высот по всей длине элементарной струйки постоянна, поэтому вершины всех трех отрезков для любого сечения расположатся на одинаковых расстояниях от плоскости сравнения 0-0 или в одной горизонтальной плоскости ММ на высоте Н_rg от плоскости сравнения.

Плоскость ММ называется напорной плоскостью; линия ММ – напорной линией. Линия АВ, соединяющая уровни в пьезометрах, называется пьезометрической линией.

Величина Н_rg называется гидродинамическим напором.

Уравнение Бернулли является частным случаем закона сохранения энергии.

Геометрическая высота Z представляет собой удельную потенциальную энергию положения, высота – удельную потенциальную энергию давления, и скоростной напор равен кинетической энергии единицы веса жидкости, а представляет кинетическую энергию единицы массы жидкости. Кинетическая энергия тела массой m равна m·W²/2, поэтому при G=1 имеем m=1/g. Тогда mW²/2= W²/(2·g).

Таким образом, в соответствии с уравнением Бернулли при установившемся движении идеальной жидкости сумма потенциальной и кинетической энергии для любого сечения струйки остается величиной постоянной по всей ее длине.