2.3 Численное решение задачи американского опциона

Как уже говорилось выше, задача нахождения стоимости американского опциона, является задачей со свободной границей, поэтому мы не можем напрямую применять к ней методы, использованные для решения задачи европейского опциона. Основная проблема задач со свободной границей заключается в том, что заранее неизвестно, где свободная граница будет находиться, а значит, неизвестно, куда прикладывать граничные условия. Существует два основных подхода для численного решения задач со свободной границей. Первый – отслеживать свободную границу на каждом шаге процесса по времени. Этот подход не является удобным для вычисления задач американского опциона, так как в ней свободные граничные условия заданы неявно, то есть они не дают прямого выражения для построения свободной границы. Другой подход состоит в том, чтобы попытаться найти такое преобразование, которое сводит задачу к задаче фиксированной границе. Свободная граница находится впоследствии после решения преобразованной задачи. Мы рассмотрим один из самых элегантных методов преобразования постановки задачи, включающий в себя формулировку линейной комплементарной проблемы .

Опираясь на полученные выражения (32)-(34), делая замену t`=t-T, задачу нахождения стоимости американского опциона можно записать в форме проблемы линейной комплементарности [1, 7]:

(2.3.1) (2.3.2) (2.3.3)

с условиями для «Call» опциона:

(2.3.4)

и для «Put» опциона:

(2.3.5)

Используя обозначения раздела 2.2, после дискретизации (2.3.1)-(2.3.3) по S и по t получим:

(2.3.6) (2.3.7) (2.3.8)

Перейдем к рассмотрению алгоритмов, решающих задачу (2.3.1)-(2.3.3) с начальными и граничными условиями (2.3.4) или (2.3.5). Первый алгоритм был предложен в 1978 году Шварцем и Бреннаном. Они предлагали на каждом j шаге после прямого решения системы корректировать полученный вектор решений, увеличивая его на величину функции выплат: . Этот алгоритм имеет существенный недостаток, так как зачастую не удовлетворяет всем трем условиям (2.3.6)-(2.3.8), а только условию (2.3.7). Затем был предложен алгоритм PSOR, обеспечивающий выполнение всех трех условий (2.3.6)-(2.3.8). Рассмотрим эти алгоритмы более детально

1. Алгоритм Бреннана-Шварца с lu-разложением

В [7] приводится алгоритм Бреннана-Шварца с использованием LU-разложения. Пусть для матрицы А мы получили LU – разложение. Тогда система переписывается в виде:

(2.3.1.1) (2.3.1.2)

Идея алгоритма заключается в том, чтобы скорректировать вектор решений при обратной подстановке, то есть решении системы (2.3.1.2). Псевдокод j шага алгоритма:

_{for i=2 to m do}

end for

_{for i=m-1 to 1 do}

_{end for}

2.3.2 Алгоритм psor (Projected sor)

Метод PSOR – это незначительная модификация метода SOR, описанного в разделе 2.2.2. Рассмотрим алгоритм SOR:

(2.3.2.1)

Если выполняются условия теоремы 3, то сходится к и (68) дает решение системы . Чтобы удовлетворить ограничениям , мы просто модифицируем итерационную последовательность (68) следующим образом:

(2.3.2.2)

Заметим, что накладывание ограничения на i-ую компоненту, сразу влияет на вычисление i+1-ой, i+2-ой и т.д. компонент. Вычисления производятся до тех пор, пока разность k-ого и k-1-ого векторов по норме не будет меньше заданного числа.