1.6 Модификация уравнения Блека-Шоулза для опциона с основным активом, выплачивающим дивиденды

Существует множество активов, выплачивающих дивиденды. Например, дивиденды по простым акциям выплачиваются их держателям из прибыли компании. Рассмотрим простейший случай дивидендов – постоянные выплаты. Пусть в момент времени dt по базовому активу выплачивается сумма DSdt, где D – постоянная величина. Здесь выплата по дивиденду определяется как пропорция от цены базового актива, выплачиваемая в единицу времени. Рассмотрим влияние таких выплат на ценообразование базового актива. Из принципа отсутствия арбитража следует, что в каждый момент времени цена базового актива должна быть уменьшена на величину выплат. Следовательно, уравнение (1.2.1) принимает вид:

(1.6.1)

Вновь рассмотрим портфель, состоящий из одного опциона и числа основного актива. Стоимость этого портфеля будет описываться выражением . Изменение стоимости портфеля в единицу времени с учетом выплат принимает вид:

(1.6.2)

Используя принцип отсутствия арбитража – приращение стоимости безрискового портфеля должно равняться приращению стоимости других безрисковых ценных бумаг, получаем уравнение Блека-Шоулза с учетом выплат дивидендов:

(1.6.3)

Для «Call» опциона конечное условие остается прежним: . Первое граничное условие при S=0 также не изменится – V(0,t)=0. Изменится только граничное условие при : . По смыслу это условие означает, что если , то вероятность того, что опцион будет исполнен, возрастает, причем цена поставки становится все менее значимой и стоимость исполнения опциона становится равной цене базового актива, уменьшенного на величину дивидендного дохода.

1.7 Модификация уравнения Блека-Шоулза для американского опциона

Американский опцион – это опцион, который может быть исполнен в любой момент с даты подписания до даты исполнения контракта. Так как американский опцион дает держателю больше прав, чем европейский, то потенциально его стоимость должна быть не ниже стоимости европейского опциона.

Задача нахождения стоимости американского опциона является более сложной задачей, так как она подразумевает не только поиск для каждого момента времени t и S стоимости опциона V(S,t), но и решение относительно каждого S - должен опцион быть исполнен или нет. Эта задача является задачей со свободной границей. Для каждого момента времени t существует такое значение S, которое разделяет область на две части: в одной – опцион не должен исполняться, в другой – опцион должен быть исполнен. Такое значение S называется оптимальной ценой исполнения и обозначается . априорно неизвестна, поэтому она называется свободной границей.

Рассмотрим американский опцион «Put». Как уже говорилось выше: – свободная граница. Так при S < оптимальным решением является исполнение опциона и его удержание в противном случае.

Построим портфель ценных бумаг, состоящий из одного американского опциона и числа основного актива (например, некоторое число акций). Тогда приращение стоимости портфеля аналогично портфелю с европейским опционом будет описываться формулой (1.4.3):

_{В виду того, что американский опцион может быть исполнен раньше срока истечения контракта, мы не можем сказать, что приращение стоимости данного портфеля будет равно приращению стоимости других безрисковых ценных бумаг. Можно только ут}верждать, что будет выполняться следующее неравенство:

(1.7.1)

_{Когда выгодным является удержание опциона, его цена исполнения V(S, t) удовлетворяет уравнению Блека-Шоулза (1.4.6). Когда оптимально исполнить опцион, его цена удовлетворяет строгому неравенству (1.7.1). Это легко проверить. Когда стоимость исполнения опциона равна: V=E-S, при S<E, и подставляя V(S,t) в (1.7.1) получаем:}

_{Итак, для каждого момента времени необходимо ось цен разделить на две области. Первая область , где раннее исполнение оптимально и выполняется:}

(1.7.2)

Во второй области раннее исполнение неоптимально и выполняется соотношение:

(1.7.3)

_{Граничное условие на свободной границе задается выражением:}

(1.7.4)