1.3 Броуновское движение. Интеграл Ито

Пусть - заданное множество, тогда -алгебра на есть семейство F подмножеств множества со следующими свойствами:

1.  F

2. F F F, где - дополнение множества F в

3. F F

Пара ( ,F) называется измеримым пространством. Вероятностной мерой на измеримом пространстве ( ,F) называется функция P: F , такая, что:

1. P(P( 

2. Если F и - непересекающаяся система, то

Тройка ( ,F,P) называется вероятностным пространством.

Случайный процесс – это параметризованный набор случайных величин , определенных на вероятностном пространстве ( ,F,P) и принимающих значения в .Обратимся к рассмотрению частного случая случайных процессов – броуновскому движению. Броуновское движение – это [4] случайный процесс X(t), t>0, обладающий тремя свойствами:

1. X(t)-X(s) распределены по нормальному закону с математическим ожиданием 0 и дисперсией t-s,где t > s.

2. X(t)-X(s) не зависит от прошлого.

3. X(t)– непрерывная функция.

Эти три свойства определяют броуновское движение, а также показывают, почему броуновское движение используется для моделирования цен базового актива.

Значения, принимаемые броуновским движением в интервале времени от нуля до T, называются путем процесса на интервале [0, T]. Рассмотрим пять важных свойств этих путей. Итак, путь B(t), 0 < t < T:

1. представляет собой непрерывную функцию от t.

2. не обладает монотонностью на любом интервале, каким бы малым он ни был.

3. не дифференцируем в любой точке.

4. имеет конечную вариацию на любом интервале, каким бы малым он ни был.

5. имеет квадратичную вариацию на интервале [a,b], равную b-a, для любых а и b.

Вариация функции g(t) на интервале [a,b] определяется как:

(1.3.1)

Квадратичная вариация функции g(t) на интервале [a,b] определяется как:

(1.3.2)

Супремум в обоих случаях берется по точкам .

Перейдем к рассмотрению стохастических интегралов [8]. Под стохастическим интегралом будем понимать интеграл вида как интеграл Римана-Стилтьеса, где Y(t) – произвольная функция времени, а X(t) – броуновское движение. Разобьем интервал на n подынтервалов с помощью точек разбиения и выберем промежуточные точки на каждом интервале . Стохастический интеграл определяется как предел частичных сумм . Интуитивно ясно, что интеграл, определенный как предел , будет зависеть от конкретного выбора точек , поскольку, если выбрать , то . Если, к примеру, мы выберем для всех i , то . Таким образом, среднее значение интеграла в зависимости от выбора промежуточных точек может быть любым – от нуля до . Будем выбирать промежуточные точки таким образом, чтобы или иначе . Определим стохастический интеграл Ито от функции Y(t) как:

(1.3.3)

где под ms-lim понимается предел в среднеквадратическом.

Если Y(t) – это константа с, то интеграл Ито будет иметь вид:

(1.3.4)

Рассмотрим частный случай, когда Y(t) представляет собой простой процесс e(t), зависящий только от t и не зависящий от X(t). Простой неслучайный процесс – это такой процесс, для которого существуют такие моменты времени и набор констант такие, что:

Тогда интеграл Ито будет иметь вид:

(1.3.5)

Интеграл Ито простого процесса представляет собой случайную величину, обладающую четырьмя следующими свойствами:

1. Линейность:

Если Y(t) и Z(t) – простые процессы, а - константы, то:

2. Интеграл от индикаторной функции равен:

, где

3. Математическое ожидание интеграла равно нулю:

4. Свойство изометрии:

_{Доказательства этих свойств можно найти в [7].}

Можно показать, что если процесс Y(t) удовлетворяет условию , то он может быть представлен в виде предела простых процессов , а соответствующий интеграл будет равен:

(1.3.6)

Теперь необходимо ввести формулу Ито – один из главных инструментов в стохастических вычислениях. Рассмотрим одно из основополагающих выражений для введения формулы Ито: или в дифференциальном виде: . Доказательство этого утверждения можно найти в [7].

Используя это свойство и применяя разложение Тейлора, получаем формулу Ито, которая показывает, что, если f(x) дважды дифференцируема, то для любого t выполняется:

(1.3.7)

Или в дифференциальном виде:

(1.3.8)

Определим Ито процесс. Процесс называется процессом Ито, если для любого он может быть представлен в виде:

(1.3.9)

Если Y(t) – процесс Ито, то он имеет случайный дифференциал на [0,T]:

(1.3.10)

часто называют коэффициентом блуждания, а называют коэффициентом диффузии.

Для вывода уравнения Блека-Шоулза необходимо привести еще одну формулу – формулу для дифференциала функции вида f(Y(t),t), называемую Леммой Ито. Если f(y,t) дважды непрерывно дифференцируема по y, непрерывно дифференцируема по t и Y(t) – процесс Ито, тогда:

(1.3.11)