Результаты численного решения задачи американского опциона
Как уже упоминалось выше, американский опцион дает держателю больше прав, чем европейский, а именно возможность раннего исполнения, следовательно, его стоимость должна быть не ниже стоимости европейского опциона. Однако иногда стоимость американского совпадает со стоимостью европейского опциона. В [9] показывается, что для американского «Call» опциона без выплаты дивидендов, оптимальным временем исполнения всегда является момент закрытия контракта, а значит, что стоимость американского «Call» опциона без выплаты дивидендов равна стоимости аналогичного европейского «Call» опциона. В данной работе численно было подтверждено это утверждение, а именно были выполнены алгоритмы (2.3.1) и (2.3.2) с большим числом различным параметров , r и E (всего более 100 вариантов) и их решение всегда точно совпадало с численным решением для европейского опциона. Рассмотрим пример «Call» опциона с выплатами дивидендов: E=10, r=0.25, D=0.2, =0.8. На рис.3 изображена стоимость американского и европейского «Call» опционов с такими параметрами в момент t=0.
Рис.3. Стоимость европейского и американского «Call» опционов с выплатами дивидендов
Видно, что в случае выплаты дивидендов, стоимости европейского и американского опционов не совпадают. В [1] так же был рассмотрен этот пример и результаты, полученные в данной работе, совпадают с результатами, полученными в [1].
Для американских «Put» опционов существует такой набор параметров , r и E, когда раннее исполнение является оптимальным. В качестве примера рассмотрим расчет стоимости «Put» опциона с параметрами E=100, r=0.1, =0.3, T=1. На рис. 4 изображена стоимость американского и европейского опционов в момент времени t=0.5:
Рис.4. Стоимость европейского и американского опционов в момент времени t=0.5
Видно, что на рис. 5 существуют такие значения S, при которых оптимально исполнить опцион в момент t=0.5, то есть до момента истечения контракта.
В [10] была выведена аналитическая формула
для стоимости американского опциона
«Put» и оптимальной цены
его исполнения (свободной границы
).
На рис. 5 изображена свободная граница
для опциона с параметрами E=100,
r=0.1,
=0.3,
T=1, построенная по
алгоритму PSOR и алгоритму
Бреннана-Шварца:
Рис. 5. Свободная граница, построенная по методу PSOR (слева), свободная граница, построенная по методу Бреннана-Шварца (справа) для сетки n=m=2000.
Таблица 3. Значение свободной границы при t’=1
Аналитическое решение, полученное в [10] |
Решение по методу PSOR |
Решение по методу Бреннана-Шварца |
76,11 |
76,09 |
86.71 |
Результат, полученный по методу PSOR, отличается от аналитического значения, полученного в [10], всего на 0.014%. В свою очередь значение, полученное по алгоритму Бреннана-Шварца отличается на 13,92%.
Заключение
В данной работе рассмотрены различные разностные схемы для уравнения Блека-Шоулза и показано, что двухшаговая схема Рунге-Кутты обеспечивает наименьшую максимальную ошибку на сетке. Проанализировано влияние замены бесконечной области (изменения цены актива) конечной на поведение ошибки численного решения в зависимости от величины конечной области.
Задача нахождения стоимости американского опциона представлена в форме линейной комплементарной задачи. Для ее решения реализованы два метода — алгоритм Бреннана-Шварца и PSOR. Численно подтверждено, что для американского «Call» опциона без выплаты дивидендов оптимальным моментом исполнения всегда является момент истечения контракта. Численное решение для американского «Put» опциона сравнивалось с аналитическим решением и было показано, что PSOR дает гораздо лучший результат, чем алгоритм Бреннана-Шварца.
Возможно обобщение проделанных исследований на случай опциона на несколько активов и переменных параметров, входящих в задачу. Например, волатильность может зависеть от времени и цены актива.