Получение уравнения множественной регрессии методом Брандона

При обработке результатов исследований некоторых объектов широко применяют графо – аналитические методы.

. (7)

Порядок расположения факторов имеет важное значение для точности обработки результатов измерения. Чем большее влияние на у оказывает параметр x_n, тем меньше должен быть у него порядковый номер. Для определения веса параметров x₁, x₂,… устраивается экспертный опрос. Вид функции f_n выбирается при помощи построения эмпирических линий регрессии (ЭЛР).

На график наносятся экспериментальные данные у, x₁, x₂,…, x_n – получают поле корреляции. Диапазон изменения входной переменной х делят на m интервалов равной длины ∆х и вычисляют среднее значение данных (точек) на каждом интервале. Получаем трансформированное поле корреляции. Затем для каждого x_n определяют среднее арифметическое значение у_n:

,

где i – количество точек в интервале.

Полученные значения относят к середине интервала, соединяют отрезками прямых и получают ЭЛР.

С увеличением числа наблюдений ЭЛР становится всё более адекватной реальной характеристике объекта. И при неограниченном увеличении числа наблюдений стремится к своему предельному состоянию – теоретической линии регрессии.

Для нахождения (7) определяется тип зависимости у_х1=f₁(x₁) и с помощью МНК рассчитываются её коэффициенты. Затем определяется выборка новой величины у₁=у / f₁(x₁), которая уже не зависит от x₁, а только от x₁, x₂, … и т.д.

- теоретическая линия.

По точкам новой выборки величин у₁ и x₂ строится новое поле корреляции и ЭЛР у_х2=f₁(x₂). Определяются её коэффициенты и рассчитывается выборка новой величины

у₂=у₁ / f₂(x₂). Процедура продолжается до получения выборки величины у_n:

Величина у_n не зависит от всех факторов x₁, x₂,…,x_n и определяется коэффициентом а:

,

где n – объём выборки.

Статистическая идентификация многомерных детерминированных тоу

Получение модели многомерных объектов по результатам эксперимента осложняется тем, что на исследуемый параметр у влияет много факторов х_i, которые сложно разделить на существенные и несущественные. Возникают трудности в определении числа входов объекта, подлежащих учёту. Увеличение входов х_i требует рассмотрения многомерной гиперповерхности, описываемой уравнением с несколькими аргументами и не поддающейся геометрической интерпретации.

Модель может быть нелинейной и иметь сложный рельеф. Тогда задача математического описания процесса тесно связана с задачей оптимального управления (оптимизации), т.е. поиск экстремумов путём изменения входных параметров. Такая модель называется целевой функцией или поверхностью отклика, а оптимальное управление обеспечивает работу ТОУ в области экстремального значения критерия качества. Получить по данным эксперимента модель ОУ, точно воспроизводящую поверхность отклика сложно. На практике ограничиваются её линейным или квадратичным приближением, выбирая ограниченный диапазон варьирования входных переменных. Это возможно, если функция непрерывная и выпуклая. Границы области обычно выбирают так, чтобы в ней попал экстремум или предельно допустимые значения у и х_i. Такой подход позволяет оценить влияние различных факторов на исследуемый параметр у и даёт возможность пренебречь некоторыми из них.

Метод, позволяющий получить многомерную модель ОУ на основе активного эксперимента, называется факторным анализом или методом планирования эксперимента, факторным экспериментом. Таким образом, задача планирования эксперимента состоит в установлении минимально необходимого числа опытов для создания информативной, достоверной и удобной в пользовании модели.

Метод заключается в следующем.

1. для объекта выбирают факторы х_i, оказывающие существенное влияние на выход у; определяют области изменения х_i;

2. составляют план эксперимента, который предусматривает изменение всех влияющих факторов;

3. изменяя х_i в избранном диапазоне и сочетаниях, определяемых программой эксперимента, фиксируют значения у;

4. рассчитывают коэффициенты уравнений модели.

Условия проведения эксперимента следующие.

• выбираются независимые друг от друга входные величины х_i;

• предусматривается возможность изменения и наблюдения у;

• факторы х_i задаются с точность, превышающей точность измерения у.

Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней n независимых управляемых факторов, каждый из которых варьируется на двух уровнях. Уровни факторов представляют собой границы исследуемой области по данному технологическому параметру. Число неповторяющихся комбинаций N=2ⁿ.

Например, в качестве факторов, влияющих на конечный результат ТП, можно рассматривать температуру 100⁰ С ≤ х₁ ≤ 200⁰ С, продолжительность процесса 10 мин ≤ х₂ ≤ 20 мин и т.д.

Поскольку факторы х_i имеют различную физическую природу и размерность, пользуются относительными величинами входных переменных - кодами.

Точка с координатами

, (1.1)

называется центром плана или основным уровнем (начало координат).

Величина

(1.2)

является интервалом варьирования по оси х. Чем меньше ∆х_i, тем выше точность модели.

Использование безразмерных нормированных факторов

(1.3)

д

+1 Х₂^max

аёт возможность построить матрицу планирования с нижними и верхними уровнями варьирования +1 и –1 независимо от характера факторов и интервалов варьирования.

Х₁^min

-1

Х₁^max

+1

0

-1 Х₂^min

План проведения эксперимента и методика расчёта коэффициентов зависят от выбранного типа модели. На практике многомерная модель представляется степенным полиномом, содержащим также члены, учитывающие совместное действие факторов. Модель второго порядка имеет вид:

, (1.4)

где х₀ – фиктивная переменная, вводимая для унификации членов модели и всегда равная 1.

При идентификации методом планирования эксперимента принимается следующая последовательность операций:

1. все члены уравнения модели, содержащие переменные х_i, их квадраты и произведения записывают в виде линейных уравнений a_ix_i нумеруют последовательно при составлении полинома

, (1.5)

или в общем виде

, (1.6)

где n – число членов уравнения регрессии;

j=1…N – номер эксперимента;

2. для определения коэффициентов а_i уравнения (1.5) в соответствии с МНК записывают функционал

, (1.7)

где N – число экспериментов.

Тогда

, (1.8)

где j – номер опыта.

Значение коэффициента а_i – указывает на силу влияния данного фактора на выходную координату при переходе фактора с основного на верхний или нижний уровень.

В табл. 1 показана матрица планирования (МП) ПФЭ для двух переменных, число опытов N = 2ⁿ, где n – число факторов.

Табл.1.

№ опыта	х0	х1	х2	х3= х1х2	х4= х12	х5= х22	у
1	+1	-	-	+	+	+	у1
2	+1	+	-	-	+	+	у2
3	+1	-	+	-	+	+	у3
4	+1	+	+	+	+	+	у4

Каждому фактору соответствует один вектор – столбец МП. Каждая стока обычно дублируется несколько раз, а в таблицу записывается среднее значение. МП ПФЭ при любом числе факторов можно построить, используя правила чередования знаков. В столбце переменной х₁ знаки чередуются через один, в столбце х₂ – через 2, х₃ формируется путём умножения построчно колонок х₁ и х₂.

Кроме ПФЭ применяется дробный факторный эксперимент (ДФЭ), который позволяет уменьшить объём эксперимента. Число экспериментов определяется по числу коэффициентов выражения (1.6). Для модели типа

вместо N=2³=8 достаточно провести 4 опыта.