Раздел 7. Динамическая идентификация объектов
Для получения динамических характеристик ОУ используются методы пассивного и активного экспериментов. Динамические модели связывают выходную величину с входным воздействием в процессе их изменения во времени.
Экспериментальный метод определения динамических характеристик заключается в снятии переходной характеристики и аппроксимации её решением линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и нулевыми начальными условиями:
.
(1)
Экспериментально полученная переходная характеристика объекта обрабатывается с целью определения передаточной функции и построения частотных характеристик. Это позволит в дальнейшем правильно разработать САР, выбрать тип регулятора и рассчитать параметры его настройки, обеспечивающие выполнение заданных условий устойчивости и качества регулирования.
При активном эксперименте используют методы, основанные на экспериментальном определении частотных и временных характеристик.
Метод частотных характеристик разработан для непараметрической идентификации, но может использоваться и для параметрической идентификации, если предварительно подобрать структуру модели объекта. Частотный метод идентификации обладает невысокой производительностью и неосуществим в реальном масштабе времени.
При использовании метода временных характеристик на входы идентифицируемого объекта последовательно с интервалами, превышающими время затухания собственных движений объекта, подаются короткие (по сравнению с длительностью переходных процессов) импульсы. Реакция объекта на короткие импульсы близка к импульсным переходным функциям. В каждом цикле на один из входов объекта подаётся импульс и регистрируется реакция всех выходов до момента их затухания. За n циклов (n – число входов объекта) обеспечивается получение всей информации, необходимой для идентификации. Рассмотренный метод производительнее метода частотных характеристик, однако, его реализация в условиях неизбежной зашумленности функционирования ТОУ требует формирования мощных импульсов. Использование таких импульсов может вывести ОУ из линейной области.
Аналогично проводится эксперимент по определении переходной функции, выражающей реакцию (отклик) на ступенчатые воздействия. При этом в каждом цикле на каждый вход подаётся не один ступенчатый сигнал, а пара прямоугольных импульсов противоположных знаков, длительность которых превышает время затухания переходных процессов в объекте. Амплитуду входного воздействия выбирают обычно в 5 – 20 % от номинального значения.
Рассмотрим основные методы определения динамических характеристик по h(t), приведённые в приложении 1.
1. Аппроксимация полученной функции h(t) решением линейного дифференциального уравнения (1). Метод применим для аппроксимации монотонных h(t), представленных выражением:
,
(2)
где с0=h∞≈h(Ty) – коэффициент усиления по исследуемому каналу;
ci – постоянные интегрирования;
αi – корни характеристического уравнения, удовлетворяющие неравенству
,
I=1,2,…,n-1.
(3)
Выражение (2) есть решение дифференциального
уравнения (1). Идея метода заключается
в последовательном приближении h(t)
вначале решением уравнения первого
порядка, т.е. функцией
,
и если эта аппроксимация неудовлетворительна
на отрезке времени [0, Ту], то водится
в рассмотрение вторая составляющая
,
т.е. порядок аппроксимирующего уравнения
принимается равным 2, и т.д. Неизвестные
αi и ci
определяются на каждом этапе аппроксимации
с помощью операции логарифмирования,
поэтому способ получил название метода
последовательного логарифмирования.
Так как α1 – самый малый
из корней, то
уменьшается
медленнее всех прочих составляющих
(ими пренебрегают при больших значениях
времени t). Тогда
.
(4)
Логарифмируя функцию │h1(t)│получим уравнение прямой линии в полулогарифмическом масштабе по оси ординат:
(5)
Для определения αi и ci вычисляется функция h1(t) по (4) и строится график ln│h1(t)│в зависимости от t. К функции ln│h1(t)│ проводится асимптота при t→∞, которая отсекает по оси ординат отрезок, равный ln c1. Тогда корень αi равен тангенсу угла наклона асимптоты к оси абсцисс:
,
(6)
г
де
t1 – точка
пересечения асимптоты с осью времени
(рис. 1).
ln│hi(t)│
ln c1
ln│h1(t)│
ln c2
ln│h2(t)│
t, мин
α2
α1
0
Рис.1. К примеру определения коэффициентов передаточной функции методом последовательного логарифмирования.
Если аппроксимация (4) является
неудовлетворительной, то вводится
вторая составляющая
и
для определения α2 и c2
рассмотренным выше способом
вычисляется функция
.
(7)
Если же (4) действительно является решением дифференциального уравнения первого порядка, то функция (7) равна нулю при всех t, т.е. асимптота совпадает со всей функцией ln│h1(t)│.
Процесс приближения выражением (2) прекращается тогда, когда функция hn (t)≈0 точностью 1-2 % от величины h (Ty). Знаки переменных интегрирования сi чередуются и определяются по знакам соответствующих функций hi(t).
При правильном определении параметров αi и ci должны выполнятся следующие “начальные” условия:
.
(8)
Практика применения метода последовательного логарифмирования для определения динамических характеристик по переходным функциям объектов показала, что h(t) удовлетворительно аппроксимируется суммой из двух-четырёх экспонент, например:
.
(9)
Для проверки адекватности полученной модели сопоставляют графики h(t), полученные экспериментально и по модели (9). При удовлетворительном совпадении графиков переходят к определению передаточной функции по рассматриваемому каналу без учёта чистого запаздывания.
Уравнение (9) преобразуют по Лапласу при нулевых начальных условиях (8):
,
(10)
. (11)
Получим передаточную функцию объекта
по исследуемому каналу, разделив
уравнение (10) на преобразование по
Лапласу единичного ступенчатого входного
воздействия
и учитывая нулевые начальные условия
(11):
,
(12)
где k=c0, T1=1/α1, T2=1/α2.
Следует отметить, что определение коэффициентов αi и ci осуществляется по h(t), из которой уже выделено время чистого запаздывания τ, поэтому динамические свойства объекта будут описываться передаточной функцией
.
Далее можно переходить к расчёту частотных характеристик. АФЧХ даёт наглядную картину динамических свойств исследуемого объекта, характеризуя его поведение на всём диапазоне частот и позволяют исследовать на устойчивость.
Рассмотренный метод аппроксимации h(t) решением линейного дифференциального уравнения прост и удобен. Основной недостаток метода последовательного логарифмирования заключается в неизбежном появлении субъективных ошибок при проведении асимптот и как следствие этого в трудности точного определения αi и ci, удовлетворяющих начальным условиям (8), (11).
2. Аппроксимация переходной функции решением дифференциального уравнения первого порядка с запаздыванием. Аппроксимирующая передаточная функция имеет вид:
,
а решение линейного дифференциального уравнения первого порядка с запаздыванием при нулевых начальных условиях будет следующим:
;
,
;
,
где постоянная времени Т и время запаздывания τ подлежат определению из экспериментальной переходной характеристики h(t) (рис.1). Коэффициент усиления к определяется:
,
или
,
если рассматривается единичная переходная характеристика.
h(t)
1
hB
t
hA
tB
tA
Рис.2. К примеру аппроксимации h(t) W(р) первого порядка с запаздыванием.
Считаем, что время запаздывания заранее выделено из h(t).
Интерполяционный метод Орманна определения Т и τ заключается в следующем.
На нормированной переходной характеристике (рис.1) выбираются две точки А и В с координатами hA, tA и hB, tB. Желательно, чтобы точка А была расположена около точки перегиба, а ордината В равнялась 0,8-0,9. Тогда определим неизвестные Т и τ по следующим соотношениям:
;
.
Аппроксимирующая кривая будет пересекать экспериментальную характеристику в начале координат, точках А и В и в принципе при t=∞. Такими условиями обеспечивается приемлемая точность описания динамических свойств объекта W(p).
3. Аппроксимация переходной характеристики решением дифференциального уравнения второго порядка. Динамические свойства промышленного объекта приближённо описываются W(p) cледующего вида:
.
h(t) объекта аппроксимируется следующим решением дифференциального уравнения второго порядка:
.
На рис. 3 приведена переходная характеристика технологического объекта по управляющему воздействию, которая представляет собой монотонную функцию времени.
h(t)
K
0,63K
τ
τп
0
τт
t2
Рис.3. Переходная характеристика статического двухъемкостного объекта.
Значения Т1 и Т2 определяются следующим образом:
,
,
при h(0,5T2)≥0,3K.
Недостатки рассмотренных графических методов аппроксимации h(t) очевидны: не всегда можно определить точку перегиба h(t), возможно неоднозначное проведение касательной, не учитывается форма и характер остальной h(t). Однако, графические методы просты в применении и не требуют значительных затрат времени на реализацию.
4. Аппроксимация переходных функций объектов, содержащих интегрирующие звенья. При известной форме входного сигнала x(t) по виду переходной характеристики нетрудно установить наличие в исследуемом объекте интегрирующих звеньев.
В общем случае дифференциальное уравнение движения выходной координаты объекта с интегрирующими свойствами y(t) записывается в виде:
,
(13)
где n ≥ m; 0 < k < n; обычно k не больше 2;
ak, ak+1, …, an – постоянные коэффициенты;
b1, b2, …, bm – постоянные величины, некоторые из них могут быть равны нулю, но b0 ≠0.
Тогда аппроксимирующая передаточная функция W(p) имеет вид:
,
где τ – время чистого запаздывания.
Уравнение (13) легко привести к уравнению
(1), подставив
.
Порядок нового уравнения будет равен
n-k,
и для определения его n-k+m
неизвестных коэффициентов применяются
любые из рассмотренных методов
аппроксимации переходных характеристик.
Рассмотрим более простой метод аппроксимации – графический.
В случае, если переходная характеристика изменяется с постоянной скоростью, начиная с момента нанесения возмущения x(t)=A, динамические свойства объекта описываются передаточной функцией W(p) вида:
,
где К=tgα / A – отношение тангенса угла наклона функции h(t) к амплитуде входного воздействия А.
Если скорость изменения выходной координаты устанавливается с некоторым запаздыванием τ, которое равно орезку оси абсцисс, отсекаемому асимптотой, проведённой к h(t).
В общем случае в качестве аппроксимирующей передаточной функции W(p) используется:
.
Для нахождения неизвестных K, T и n из графика h(t) определяют угол наклона α асимптоты к оси абсцисс, величины hu и Tu=τ (рис. 4).
h(t)
t
α
hu
τ
Рис. 4. Определение параметров интегрирующей W(p)объекта.
Затем рассчитывается К=tgα/A, а из номограмм, приведённых в [2], находятся T и n.
hu/KTu
Tu/T
n
n
