3. Интегрирование рациональных выражений( простые дроби и их интегрирование, интегрирование рациональных ф-ций).

К простым дробям относят дроби следующих 4-ёх типов:

A/(x-a) (1); A/(x-a)ⁿ (2); (Mx+n)/(x²+px+q) (3); (Mx+N)/(x²+px+q)ⁿ (4). В случае (2) и (4) nεN и n>1; A, M, N, a, p, q – известные действительные числа. Кроме этого знаменатели простых дробей (3) и (4) нельзя разложить на множители, т.е. x²+px+q не имеет действительных корней, следо-но D<0. Дроби вида (1) и (2) интегрируются так: ∫Adx/(x-a)=A∫dx/(x-a)=A∫d(x-a)/(x-a)=Aln|x-a|+c; ∫Adx/(x-a)ⁿ(легко интегрируется с помощью подстановки (x-a)=t)= -A/((n-1)(x-a)^n-1)+c. Перейдём к инте-нию дробей вида (3) и (4), для этого предполагаем, что x²+px+q не имеет действ. корней ( p²/4-q<0, q-p²/4>0). Выделим полный квадрат: x²+px+q=(x²+2px/2+p²/4)-p²/4+q= (x+p/2)²+(q-p²/4); q-p²/4=a², a=(q-p²/4)^1/2. Применим подстановку t=x+p/2, dt=dx; x=t-p/2; x²+px+q=(x+p/2)² +a²=t²+a², а тогда Mx+N=M(t-p/2) +N=Mt-Mp/2+N, тогда дробь в случае (3) можно проинт-ать: ∫(Mx+N)dx/(x²+px+q)=∫(Mt-(pM/2-N))dx/(t²+a²)= (M/2)∫2tdt/(t²+a²)+ (N-pM/2)∫dt/(a²+t²)= (M/2)ln(t²+a²)+(1/2)(N-pM/2)arctgt/a+c; подставляем в полученный интеграл вместо a и t их значения, получим: ∫(Mx+N)dx/(x²+px+q)= (M/2)ln(x²+px+q)+ ((pN-pM)/(Mq-p²)^1/2)arctg (x-p/2)/(q-p²/4)^1/2+c. Рассмотрим вопрос об инт-нии простейшей дроби вида (4): ∫(Mx+N)dx/(x²+px+q)ⁿ= ∫(Mt+(N-Mt/2))dx/(t²+a²)ⁿ= (t=x+p/2)= (M/2)∫2tdt/(t²+a²)ⁿ+N-Mt/2∫dt/(t²+a²)ⁿ; первый из этих интегралов находится с помощью подстановки t²+a²=u, 2tdt=du, в второй из полученных интегралов может быть вычислен методом интегрирования по частям, в процессе которого получим рекуррентную формулу. Интегралы от рациональных ф-ций: пусть нужно вычислить интеграл от рациональной ф-ции, т.е. интеграл от дроби, числитель и знаменатель которой – многочлены. Если степень многочлена в числителе больше или равно степени многочлена в знаменателе, то такая дробь – неправильная, а если степень многочлена в числителе меньше степени мно-на в зна-тели, то дробь – правильная. Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, для этого числитель необходимо разделить на знаменатель. Каждая правильная дробь P(x)/Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены, причём степень P(x)>степени Q(x) может быть представлена в виде суммы конечного числа простых дробей . Такое разложение правильной дроби на сумму простейших типа a/(x-a) либо a/(x-a)ⁿ, (Mx+N)/(x²+px+q)ⁿ связано с разложением знаменателя, а Q(x) на простые множители вида (x-a) и (x²+px+q). При этом квадр. множители вида (x²+px+q) не должны иметь действ. корней, а след. такие множители не разложимы на множители на линейные. Итак, этот многочлен схематично можно представить в таком виде, полагая, что коэффициент многочлена в знаменателе равен единице: Q(x)=(x-a)(x-b)∙… ∙(x-c)…(x-a)ⁿ¹(x-b)ⁿ²…(x-c)ⁿ³(x²+p₁x+q₁) (…x²+p₂x+q₂)∙…(x²+p₁x+q₁)^m1…∙(x²+p₂x+q₂)^m2. В курсе алгебры установл., что каждому многочлену вида (x-a) соотв. сумма k простых дробей вида A₁/(x-a)+A₂/(x-a)²+…+A_n/(x-a)ⁿ. Аналогично каждому многочлену (x²+px+q)^m соотв.: (M₁x+N₁)/(x²+px+q)+ (M₂x+N₂)/(x²+px+q)²+…+ (M_nx+N_n)/(x²+px+q)ⁿ, где A, M, N с индексами являются числовыми коэффициентами. В результате можно найти знаменатель тех простых дробей, на которые раскладывается данная простая дробь P(x)/Q(x). Числа A, M, N с индексами можно определить, пользуясь методом неопределённых коэффициентов методом неопределённых коэффициентов. Для этого записываем данную правильную рациональную дробь в виде суммы простейших с неизвестным числителем; приводим к общему знаменателю и сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x, в результате получаем систему линейных уравнений, решив которую найдём неизвестные числа A, M ,N с индексами. После чего интеграл от правильной рациональной дроби вычисляется как сумма интегралов от простейших дробей, указанных выше типов 1-4.

№4 Интегрирование выражений, содержащих триг.ф-и.

Интегралы вида ∫R(sinx,cosx),где R-рациональная ф-я от sinx,cosx согут быть вычислены с помощью подстановки u=tg(x/2).Эта подстановка сводит интеграл к интегралу от рациональной дроби. Sinx=(2sin(x/2)cos(x/2))/(sin²(x/2)+cos²(x/2))=(2tg(x/2))/(tg²(x/2)+1)=2u/(1+u²);

Cosx=(cos²(x/2)-sin²(x/2))/(cos²(x/2)+sin²(x/2))=(1-tg²(x/2))/(1+tg²(x/2))=(1-u²)/(1+u²);x/2=arctgu; x=2arctgu;dx=2du/(1+u²). ∫R(sinx,cosx)dx=∫R(2u/(1+u²),(1-u²)/(1+u²))2du/(1+u²)=2∫R(2u/(1+u²),(1-u²

)/(1+u²))du/(1+u²).В результате такой подстановки получили интеграл от рациональной ф-и от переменной u.Такие интегралы беруться в конечном виде.Для их выражения потребуются триг.ф-и.подстановка u=tg(x/2)-универсальная подстановка.а)если целая или дробная рационалная ф-я R(u,v) не меняет своего значения при изменении знака од ного из аргументов,т.е.R(u,v)=R(-u,v),то это выражение может быть представлено в виде :R(u,v)=R₁(u²,v),где ф-я R₁ cодержит чётные степени u. б)если при изменении знака u ф-яR(u,v) так же меняет знакб,т.е.-R(u,v)=R(-u,v),то она приводится к виду R(u,v)=R₂(u²,v)u Пусть ф-я R(u,v) зависит от ф-ий sinx,cosx,имеет вид R(sinx,cosx),и пусть меняет знак при измении знака sinx, тогда ∫R(sinx,cosx)dx=R₁(sin²x,cosx)sinxdx=-R₁(1-cos²x,cosx)dcosx.Удобно применить подстановку u=cosx.Пусть R(u,v)меняет знак при изменении знака v.Тогда R(sinx,cosx)dx=R₀(sinx,cos²x)cosx=R₀(sinx,1-sin²x)dsinx.Значит в этом случае удобна подстановка u=sinx Предположим,что ф-я R(u,v) не меняет своего значения при одновременном изменении знаков u и v,т.е.R(-u,-v)=R(u,v).Заменяя u на (u/v)v,будем иметь:R(u,v)=R((u/v)v,v)=R*(u/v,v)Если изменить знаки u на v,то отношение (u/v) знака не изменит R*(u/v,v)=R*₁(u/v,v²) R(sinx,cosx)=R*₁(tgx,1/(1+tg²x))=R*₁(u,1/(1+u²))du/(1+u²)

Интегрирование выражений, содержащих радикал от дроби.

Интегрирование выражений вида R(x,m√(αx+β)/(γx+σ)).Основным приёмом уазанных выше и других классов подынтегральной ф-и является отыскание таких подстановок t=w(x),которые привели бы к рациональной дроби,предположив что w(x) выражается через элементарные ф-и.Этот приём называется методом рационализации подынтегрального выражения.Рассмотрим интеграл вида ∫R(x,^m√(αx+β)/(γx+σ))dx; где R-рационнальная ф-я отарг. в скобках;m€N; α,β,γ,σ€R Применим подстановку: t=w(x)=^m√(αx+β)/(γx+σ); t^m=(αx+β)/(γx+σ); x=φ(t)=(γt^m-β)/(γ-αt^m).В результате подстановки получили ∫R(φ(t),t)φ’(t)dt.В интеграле подынтегральная ф-я имеет вид R(φ(t),t)φ’(t),т.к. R(φ(t),t)φ’(t)-рац-е ф-и→ интегрирование таких выражений производится по правилам интегрирования рац.дробей К интегралам этого типа относятся и интегралы вида ∫R(x,((αx+β)/(γx+σ))^r((αx+β)/(γx+σ))^s)dx; Для интегрирования таких вырожений необходимо привести эти показатели к общему знаменателю и свести к первому случаю.В частности к рассмотренному типу интегралов относится интеграл вида ∫R (x,(ax+b)^r1 (ax+b)^r2…(ax+b)ⁿ ) dx.

№5 Интегрирование биномиальных дифференциалов.

Биномиальными называются дифференциалы вида x^m(ax+bxⁿ)^pdx,где a,b€R,m,n,p,€Q. Случай1 Пусть р€Zтогда рассматриваемое выр-е относится к предыдущему случаю.Обозначим через λ наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n В результате получим выр-е вида R(^λ√x)dx,где R-рац.ф-я Для рационализации данного выр-я можно применитьподстановку t=^λ√x,x=t^λ ,dx=λt^λ-1dtСлучай 2 Применим подстановку z=xⁿ, тогда x^m(a+bxⁿ)^pdx=1/n(a+bz)^px^((m+1)/n)-1 dz Обозначим ((m+1)/n-1=q,получим ∫x^m(a+bxⁿ)^pdx=∫1/n(a+bz)^px^qdz.Если q€R,то снова приходим к рассмотренному ранее случаю Если к-знаменатель дроби р , то получим :R(z,^k√a+bz). Которые можно проинтегрировать с помощью подстановки t=^k√a+bz= ^k√a+bxⁿ Случай 3 ∫(a+bz)^pz^qdz=∫((a+bx)/z)^pz^p+q dz.Если p+q€Z, имеем ранее полученный случай,где R(z,^k√(a+bz)/z)-рац.ф-я Биномиальные дифференциалы интегрируются в конечном виде только тогда ,когда одно из чисел p,q,p+q€Z или p,(m+1)/n,((m+1)/n)+1€Z

Интегрирование выражений с помлщью подстановок Эйлера.

Интегрирование выражений вида R(x, √ ax² + bx +c). Подстановки Эйлера.

Предположим, что ax² +bx+c не имеет равных корней, т.е. корень из него не может быть рациональным выражением. Для интегрирования таких выражений можно применить 3 подстановки,- Эйлера- с помощью которых можно достигнуть рационализации подинтегрального выражения.

1.первая подстановка применяется тогда, когда a>0, при этом предполагают, что √ax ax ² + bx + c=t-√ax

ax ² + bx+ c= t² -2√atx+ax²

bx+c=t² -2√atx

x= (t² –c)/ b+2t√a

√ax² +bx+c=√a(t² –c)/(b+2t√a))² + b*((t² –c)/(b+2t√a))=(√a*t² +bt+c√a)/2√at+b)

Ax=2*((√a*t² +bt+c√a)/(2√a*t+b)² )dt

В результате такой подстановки происходит рационализация подинтегрального выражения. Ценность этой подстановки состоит в том, что для определения Х получаем уравнение первой степени относительно Х а также и радикал √ах² +bx+c выражается рационально через t. Если полученные значения x и dx подставить в рассматриваемый интеграл, то задача сводится к интегрированию рациональной ф-ой от t, после чего остается только t заменить на √ax²+bx+c +x√a

2. вторая подстановка применима при c>0. В этом случае рассматривается равенство

√ax² +bx+c=xt+√c.

√ax²+bx+c=xt+√c

Ax²+bx+c=x²t²+2xt√c+c

Ax²+bx=x²t²+2xt√c

Ax+b=xt²+2t√c

X(a-t²)=2t√c-b

X=(2t√c-b)/(a-t²)

√ax²+bx+c=√a((2t√c-b)/(a-t²)² +b*(2t√c-b)/(a-t² )+c=(t²√c-bt+a√c)/(a-t²)

Подставляя значения x и dx в рассматриваемом интеграле снова получили рациональное подинтегральное выражение.

Замечание: рассмотренные случаи можно привести один к другому с помощью подстановки x=1/z. В связи с этим всегда можно пользоваться только первой подстановкой или второй.

3. третья подстановка применима в том случае, если ax²+bx+c имеет различные действительные корни: x₁=λ₁, x₂=μ, λ=μ. В этом случае ax²+bx+c=a(x-λ) (x-μ)

Рассмотрим равенство

√ax²+bx+c=√a*((aμ-t²λ)/(a-t²))² +b*((aμ-t²λ) (a-t²))+c=(at(μ-λ)/(t²-a))

Получили подинтегральное рациональное выражение от t, затем заменим t его значением.

Замечание при сделанных предположениях (трехчлен имеет различные корни) выражение √ax2+bx+c=√a(x-λ)(x-μ)можно заменить на выражение(x-λ)*√(a(x-μ)/(x-λ)). В результате этого рассматриваемый интеграл сводится к интегралу типа R(x,(a*((x-μ)/(x-λ) ^1/2dx.

Покажем же что :

1.и3. подстановки Эйлера достаточно,чтоб осуществить рационализацию подинтегрального выражения во всех возможных случаях.

В самом деле,если ax²+bx+c имеет действительные корни ,то применима третья подстановка.Если же он действительно корней не имеет, т.е. D=b²-4ac<0,то применима ситуация:

ax²+bx+c=(1/4a)((2ax+b)²+(4ac-b²))

При всех значениях x трёхчлен принимает знак коэффициента a.Если a>0 то применима первая подстановка.Случай a<0 нас не интерисует,т.к. корння из –a не существует.

Подводя итог отметим,что интегралы вида ∫r(x₁*корень ax²+bx+c)dx всегда берутся в конечном виде,причём для определения x кроме функции,через которые выражаются интегралы от рациональных деференциалов нужны ещё лишь квадратные корни.

№6Оппределённый интеграл,интегральные суммы,интегрируемость ф-и по Риману. Необходимое условие интегрируемости.

Пусть дана ф-я y=f(x),определённая на замкнутом отрезке [a,b],a<bОбозначим символом Т разбиение отрезкам [a,b] на частичные отрезки с помощью точек a=x₀<x₁<…<x _n-1<x _n=b Получим n частичных отрезков :[x₀,x₁],[x₁,x₂]…[x_n-1,x_n]. Точки x0,x1…xn-точки данного разбиения Т Выберем внутри каждого такого отрезка ¥ точку и пусть ξ_i €[x_i-1,x_i];∆x_i-длинна i-го частичного отр-а ∆x_i =x_i-x_i-1 ,Число I{xi, ξ_i },где I I{xi, ξ_i }=f(ξ_i) ∆x_i +f(ξ₂) ∆x₂+…+f(ξ_n-1) ∆x_n-1+f(ξ_n) ∆x_n -------называется интегральной уммой ф-и f(x) которая соответствует данному разбиению Т и данному выбору точек ξ_i на частичных отрезках [x_i-1,x_i],i=от 1 до n.Обозначим символом ∆ длину максимального частичного отрезка данного разбиения Т. Геометрически интегральная сумма предстовляет собой S ступенч.фигуры. Число I называетсяпределом интнгральных сумм при ∆→0,если для ¥ξ>0 можно указать такое σ>0,зависящие от ξ,что для любого разбиения отрезка [a,b] максимальная длина ∆ частичных отрезков которого меньше σ независимо от выбора точек ξ_i на частичных отрезков [x_i-1,x_i] выполняется нер-во :/ I{x_i, ξ_i }-I /< ξ. Для обозначения предела интегральных сумм применяется запись :I=lim I{ x_i, ξ_i }.Ф-я y=f(x)называется интегрируемой по Риману на отрезке [a,b]

∆→0

,если сущест.конечный предел I интегральных сумм этой ф-и при ∆→0,который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a,b] начастичные отрезки ,ни от выбора точек ξ_i на этих отрезках . Указанный предел I называется определённым интегралом от ф-и f(x) на отрезке [a,b] :I=∫^a_b f(x)dx-определённый интеграл ;a,b-пределы интегрирования ,f(x)-подинтегральная ф-я.Определённый интеграл численно равен площади криволинейной трапеции ,огрыниченной графиком ф-и f(x) сверху ,прямыми x=a,x=b и Оx.