20 ( Понятие несобственного интеграла…Свойства…)

Пусть функция y=f(x) определена на конечном или бесконечном полупромежутке [a,ω), где -∞<a<ω≤∞ и является интегрируемой на любом отрезке [a,b], где a≤b<ω. Если существует конечный предел lim(b→∞)∫(a,b)f(x)dx, то функция f(x) называется интегрируемой в несобственном смысле на промежутке [a,ω), а указанный предел называется несобственным интегралом функции f(x) на промежутке [a,ω) и обозначается:

∫(a,ω)f(x)dx. Если существует конечный предел lim(b→ω-0)∫(a,b)f(x)dx, то говорят, что ∫(a,ω)f(x)dx сходится, а если этот предел бесконечный или не существует, то несобственный интеграл ∫(a,ω)f(x)dx называется расходящимся. Выберем произвольное число с из промежутка (-∞;∞), тогда по свойству определённого интеграла ∫(-∞;∞)f(x)dx=

=∫(-∞;c)f(x)dx+∫(c;∞)f(x)dx; т.е. задача сводится к вычислению 2-ух несобственных интегралов с одним бесконечным пределом, если он существует.

Замечание. Любой определённый интеграл ( интеграл Римана) ∫(a,ω)f(x)dx можно рассматривать как несобственный интеграл: ∫(a,ω)F(x)dx=lim(b→∞)∫(a,b)F(x)dx=

=lim(b→ω-0)(F(b)-F(a))=F(ω)-F(a), где F(x)-первообразная функции f(x) на отрезке [a,ω].

Опр. Если в несобственном интеграле ∫(a,ω)f(x)dx промежуток интегрирования является бесконечным и других особых точек, кроме бесконечных, на этом промежутке функция f(x) не имеет, то такой интеграл называется несобственным интегралом 1-го рода. Если же промежуток интегрирования конечный и внутри него имеется особая точка, то такой интеграл является несобственным интегралом 2-го рода.

( Основные свойства…) 1.(Свойство линейности) Если функции f(x) и g(x) интегрируемы в несобственном смысле на промежутке [a,ω) и α и β-любые действительные постоянные, то функция αf(x)+βg(x) интегрируема в несобственном смысле на этом промежутке и имеет место формула ∫(a,ω)(αf(x)+βg(x))dx=α∫(a,ω)f(x)dx+β∫(a,ω)g(x)dx. Доказательство следует из определения несобственного интеграла и свойства линейности для интеграла Римана (определённого интеграла).

2.(Свойство аддитивности) Если функция f(x) интегрируема в несобственном смысле на

[a,ω) и с-любая точка из указанного промежутка, тогда существуют в несобственном смысле интегралы: ∫(a,c)f(x)dx и ∫(c,ω)f(x)dx, прbчём имеет место формула: ∫(a,ω)f(x)dx=

∫(a,c)f(x)dx+∫(c,ω)f(x)dx.

Док-во. Известно, что для любого b€[a,ω), справедлива формула: ∫(a,b)f(x)dx=

=∫(a,c)f(x)dx+∫(c,b)f(x)dx (по свойству определённого интеграла). А тогда существует предел lim(b→ω-0)∫(c,b)f(x)dx=lim(b→ω-0)(∫(a,b)f(x)dx-∫(a,c)f(x)dx)=

lim(b→ω-0)∫(a,b)f(x)dx- lim(b→ω-0)(∫(a,c)f(x)dx=∫(a,ω)f(x)dx-∫(a,c)f(x)dx, откуда и следует доказываемое свойство. Если учесть, что lim(b→ω-0)∫(c,b)f(x)dx=∫(c,ω)f(x)dx, то свойство доказано.

3.(Формула Ньютона-Лейбница) Если F(x)-любая первообразная функции f(x) на [a,ω) и ω-единственная особая точка функции f(x) на этом промежутке, то несобственный интеграл ∫(a,ω)f(x)dx=F(ω)-F(a)=F(ω-0)-F(a), если ω€R; ∫(a,ω)f(x)dx=F(ω)-F(a)=F(∞)-F(a), если ω=∞. Последнее равенство следует понимать в том смысле, что либо обе его части имеют смысл и равны, либо пределы правой и левой части не существуют или являются бесконечными.

Док-во. Возьмём любое число b€[a,ω), тогда в предположении, что для такого числа b существует интеграл ∫(a,b)f(x)dx=F(b)-F(a). Перейдя к пределу при b→ω-0, получим справедливость доказываемого свойства.

4.(Интегрирование подстановкой) Если функция f(x) непрерывна на [a,ω), а функция φ(t) непрерывна и дифференцируема на [α,β), где -∞<α<β≤∞; a=φ(α)≤φ(t)<ω=lim(t→β-0)φ(t), то при α≤t≤β следует, что ∫(a,ω)f(x)dx=∫(α,β)f(φ(t))φ’(t)dt.

Док-во. Возьмём любую точку γ из [α,β). Этой точке соответствует точка b=φ(γ), которая принадлежит [a,ω). По теореме о подстановке для определённого интеграла ( Римана), имеем: ∫(a,b)f(x)dx=∫(α,β)f(φ(t))φ’(t)dt. Переходя к пределу в левой и правой части, получим равенства при b→ω-0 и β→γ+0, получим справедливость доказываемого свойства.

5.(Интегрирование по частям). Если функции u=u(x), v=v(x) непрерывно дифференцируемы на [a,ω), то имеет место формула интегрирования по частям для несобственных интегралов: ∫(a,ω)udv=uv(a,ω)-∫(a,ω)vdu, причём несобственные интегралы в обеих частях равенства либо одновременно сходятся либо расходятся.

Док-во. Возьмём любую точку b€[a,ω), тогда выполняется формула интегрирования по частям для интеграла Римана: ∫(a,b)udv=uv(a,b)-∫(a,b)vdu. Переходя в последнем равенстве к пределу при b→ω-0 и получим доказываемое равенство.

6.(Интегрирование неравенств) Если не собственные интегралы ∫(a,ω)f(x)dx и ∫(a,ω)g(x)dx сходятся для любого х€[a,ω) и выполняется неравенство: f(x)≤g(x), то ∫(a,ω)f(x)dx≤∫(a,ω)g(x)dx. Доказательство следует из неравенства ∫(a,b)f(x)dx≤∫(a,b)g(x)dx, если f(x)≤g(x) путём перехода к пределу при b→ω-0.

Замечание. Следует иметь ввиду, что не все свойства интегралов Римана автоматически переносятся на несобственные интегралы.