23.Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций.

Теорема1(первый признак сравнения)

Е сли функции f(x) и g(x) определены и принимают неотрицательные значения на [a, ) и интегрируемы по Риману на любом отрезке из этого промежутка. Если существует положительное действительное число с € R и окрестность (-δ, ) такая, что для любого x € (-δ, ) выполняется неравенство f(x) ≤ с* g(x) при x -0, тогда:



1. Из сходимости несобственного интеграла ∫ g(x)dx следует сходимость несобственного

 a

интеграла ∫ f(x)dx.

a 

2.Из расходимости несобственного интеграла ∫ f(x)dx следует расходимость

 a

несобственного интеграла ∫ g(x)dx.

a

Доказательство.



1.Пусть несобственный интеграл ∫ g(x)dx сходится, а тогда будет сходится и интеграл

 a

∫ g(x)dx. По критерию сходимости несобственных интегралов от неотрицательных

-δ

функций существует M>0 такое, что для любых x € (-δ, ) выполняется неравенство

  

∫ g(x)dx ≤M. По условию теоремы на (-δ, ) f(x) ≤ с* g(x). Значит ∫ f(x)dx ≤ с*∫ g(x)dx ≤ -δ -δ -δ

с*M=D. Тогда по тому же критерию сходимости несобственных интегралов от

 -δ

отрицательных функций (достаточное условие) ∫ f(x)dx сходится. В то же время ∫ f(x)dx

-δ  a

существует как определенный интеграл. Поэтому ∫ f(x)dx сходится.

a

Пункт 1 доказан.  

2. Если несобственный интеграл ∫ f(x)dx расходится, тогда и несобственный ∫ g(x)dx также

a a

расходится. Так как при его сходимости по свойству 1 теоремы сходился бы и интеграл

 

∫ f(x)dx, что противоречит пункту 2. Следовательно из расходимости ∫ f(x)dx следует

a  a

расходимость ∫ g(x)dx.

a

Что и требовалось доказать.

Теорема 2(2-ой признак сравнения)

Если функции f(x) и g(x) определены и принимают неотрицательные значения на [a, ),

причем g(x) ≠0, а на каждом из отрезков [a,b] € [a, ) существуют интегралы Римана

b b

∫ f(x)dx и ∫ g(x)dx и существует предел lim (f(x)/g(x))=L, где L € (0,+∞). Тогда

a a   x -0

несобственные интегралы ∫ f(x)dx и ∫ g(x)dx сходятся или расходятся одновременно.

a a

Доказательство.

Существование предела lim (f(x)/g(x))=L, L € (0,+∞) означает, что для любого ε > 0 (ε <L)

x -0

существует δ>0, что для любого x € (-δ, ) выполняется ׀ (f(x)/g(x))-L ׀< ε. Из последнего неравенства следует L- ε< f(x)/g(x)< L+ε. Из последнего неравенства и теоремы 1

 

сравнения следует, что ∫ f(x)dx, ∫ g(x)dx одновременно сходятся или расходятся.

a a

Что и требовалось доказать.

Следствие

Если выполняются условия 2-ой теоремы, но L=0, тогда из сходимости несобственного

 

интеграла ∫ g(x)dx следует сходимость несобственного интеграла ∫ f(x)dx . Из

a  a 

расходимости ∫ f(x)dx следует расходимость несобственного интеграла ∫ g(x)dx. В самом

a a

деле имеем в этом случае: lim (f(x)/g(x))=0. Тогда, для любого ε > 0 существует δ>0 такое,

x -0

что для любого x € (-δ, ) выполняется - ε< f(x)/g(x)< ε, то f(x)< ε* g(x). Тогда следствие вытекает из теоремы 1.

Замечание

Используя теоремы сравнения 1 и 2 при исследовании несобственных интегралов на сходимость и дает результат тогда, когда будем иметь набор несобственных интегралов-эталонов, то есть таких несобственных интегралов, сходимость или расходимость которых заранее известна.



В качестве таких интегралов чаще всего берутся интегралы ∫ dx/(b-x)^α или ∫ dx/(a-x)^α,

+∞ a

которые сходятся при α<1 и расходятся при α≥1, а также ∫ dx/x^α , a>0. Этот интеграл

a

сходится при α>1 и расходится при α≤1.