9) Классы интегрируемых функций.

1) Интегрируемость непрерывных ф-ий.

Теорема: если ф-ия f(x) определенна и непрерывна на [a,b] то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство: Пусть ф-ия f(x) определ. и непрерывна на [a,b]. Докажем что она интегрируема на этом отрезке. Из условия непрерывности ф-ии на отрезке → ее ограниченность (1-ая теорема Вейерштраса) и равномерная непрерывность (т. Кантора) на этом отрезке. На основании следствия из т. Кантора для любого ε>0 найдется δ>0, что лишь только отрезок [a,b] разбит на части с длинами ∆xi<δ, то все ωi<ε → что сумма: ∑(от i=1 до n)ωi∆xi<ε∑(от i=1 до n)∆xi=ε(b-a), т.к. (b-a) постоянное число, ε-произвольное скольугодно малое число, то lim(∆→0)∑(от i=1 от n)ωi∆xi=0. Откуда и вытекает и интегрируемость ф-ии f(x) на [a,b]. Ч.Т.Д.

2) Интегрируемость некоторых разрывных ф-ий.

Будем говорить, что точка x є [a,b] покрыта этим отрезком если она принадлежит ему.

Теорема: (об интегрируемости некоторых разрывных ф-ий) Если ф-ия f(x) определена и ограничена на [a,b] и если для любого ε>0 можно указать конечное число интервалов которые покрывают все точки разрыва этой ф-ии и имеют общую сумму длин меньших чем ε, то f(x) интегрируем. на [a,b].

Доказательство: выберем любое ε>0 покроем точки разрыва ф-ии f(x) конечным числом отрезков сумма длин которых меньше числа ε/(2(M-m)), где M и m-точная верхняя и нижняя грани ф-ии на [a,b]. Точки отрезка не принадлежащие указанным интервалам образ. мн-во состоящее из конечного числа непересекающихся отрезков на каждом из таких отрезков ф-ия f(x) непрерывна, а значит и равномерно непрерывно. Разобьем каждый такой отрезок так чтобы колебание ωi ф-ии f(x) на любом частичном отрезке разбиения было меньше чем ε/(2(b-a)). Объединяя эти разбиения и интервалы покрывающ. точки разрыва ф-ии f(x) получим разбиение Т всего отрезка [a,b]. Для такого разбиения слагаемые суммы: ∑(от i=1 до n)ωi∆xi=Ş-ŝ, разделяется на две группы: ∑'(от i=1 до n)ωi∆xi и ∑''(от i=1 до n)ωi∆xi при этом в первую сумму (∑') входят все слагаемые соответствующ. частям разбиения Т образован. из интервалов покрывающ. точки разрыва, а во вторую (∑'') остальные слагаемые. Т.к. колебание ωi=Mi-mi для слагаемых первой группы удовлетворяющему неравенству: ωi≤Mi-mi, то сумма ∑'(от i=1 до n)ωi∆xi≤(M-m)∑'(от i=1 до n)∆xi<(M-m)ε/(2(M-m))=ε/2. Для слагаемых второй суммы имеет: ωi<ε/(2(b-a)) и ∑''(от i=1 до n)ωi∆xi<ε/(2(b-a))∑''(от i=1 до n)∆xi<(b-a)ε/(2(b-a))=ε/2, а тогда Ş-ŝ=∑(от i=1 до n)ωi∆xi=∑'(от i=1 до n)ωi∆xi+∑'(от i=1 до n)ωi∆xi<ε/2+ε/2=ε → lim(∆→0)(Ş-ŝ)=0, т.е. ф-ия интегрируема на [a,b]. Ч.Т.Д.

Следствие: ограниченная на [a,b] ф-ия f(x), имеющая лишь конечное число точек разрыва интегрируема на этом отрезке. В частности кусочно непрерывная на данном отрезке ф-ия явл. интегрируемой на этом отрезке.

3) Интегрируемость монотонных ф-ий.

Теорема: если ф-ия f(x) монотонная на [a,b] то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство: Пусть ф-ия f(x) монотонно возрастает на [a,b] тогда она ограничена на этом отрезке т.к. f(a)<f(x)<f(b) где x є [a,b]. Ее колебание в промежутке [xi-1,xi] равно f(xi)-f(xi-1). Зададимся любым ε>0 и предположим что δ=ε/(f(b)-f(a)) если ∆xi<δ, то сумма ∑(отi=1 до n)ωi∆xi<δ∑(от i=1 до n)│f(xi)-f(xi-1)│=δ(f(b)-f(a))=ε/(f(b)-f(a))(f(b)-f(a))=ε. Откуда → интегрируемость ф-ии. Ч.Т.Д.

Вопрос № 10

Св-ва определённого интеграла, выражаемые рав-ми.

1. Если ф-ия f(x) интегрируема на [a,b], то она интегрируема на [b,a]. При этом: f(x)dx= -f(x)dx, т.е. при замене пределов интегрирования местами опр. интеграл меняет знак.

Док-во. Ранее мы рассматривали интегр. суммы на [a,b] при a<b. Для [b,a] можно применить разбиение Т точками а=х₀>x₁>x₂>…>x_n=b. Выберем в каждом частичном отрезке [x_i-1,x_i] по точке _i,так что х_i-1<<х_{i ,}и составим интегр. сумму I{x_i,_i}=f(_i )x_i ,где для i x_i =x_i-x_i-1<0. Рассмотрим предел этой суммы при 0. Получим limI{x_i,_i}=f(x)dx. Возьмём для [a,b] и [b,a] одно и то же разбиение Т и одни и те же _i, тогда интегр. суммы будут отличаться знаками. Ч.т.д.

2. Пусть f(x) интегрируема на наиб. из отрезков [a,b], [a,c] или [c,b], тогда она интегрируема и на отрезках [b,a], [c,a], причём f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx.

Док-во. Если f(x) интегрируема на наиб. из отрезков, то она интегрируема и на наим. из отрезках, содержащихся в наибольших. Пусть a<c<b. Рассмотрим разбиение Т отрезка [a,b] на частичные отрезки, чтоб точка с явл. одной из точек такого разбиения. Тогда выполняется рав-во:  f(_i)x_i = f(_i)x_i + f(_i)x_i , где первая  соответствует разбиению [a,c], а вторая  - отрезку [c,b]. Получим: limf(_i)x_i=limf(_i)x_i + lim f(_i)x_i. Т.к. f(x) интегрируема на каждом из 3 отрезков, то указанные пределы будут равны. Другой случай расположения a,b,c приводится к рассмотренному выше. Ч.т.д.

3. f(x)dx=0 (следует из 1).

Поменяв пределы интегрирования местами, получим f(x)dx= -f(x)dx  f(x)dx=0.

4. Если ф-ия f(x) интегрируема на [a,b], то и ф-ия сf(x), где с=const, интегрируема на нём: сf(x)dx=cf(x)dx.

Док-во. Т.к. интегральные суммы для этих ф-ий отличаются постоянным множителем, то ф-ия cf(x) также явл. интегрируемой и выполняется доказываемое рав-во. Ч.т.д.

5. Если ф-ии f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a,b], то и ф-ии f(x)g(x) также интегрируемы на нём: (f(x)g(x))dx=f(x)dxg(x)dx.

Док-во. Разобьём [a,b] с помощью произв. разбиения на частичные отрезки и составим интегр. суммы для интегралов: (f(x)g(x))dx, f(x)dx, g(x)dx. На каждом таком частичном отрезке выбираем произвольно для всех 3 сумм одни и те же _i. Имеем: (f(_i)g(_i))x_i=f(_i)x_ig(_i)x_i. Т.к. предел справа существует, то существует и предел слева, а это значит, что ф-ии f(x)+g(x), f(x)-g(x) интегрируемы на [a,b]. Переходя к пределу при 0, и получим доказываемое рав-во. Ч.т.д.

6. Пусть ф-ии f(x) и g(x) интегрируемы на [a,b], тогда и f(x)g(x) интегрируема на нём.

Док-во. Т.к. f(x) и g(x) интегрируемы на [a,b], то они и ограничены на нём, т.е. существуют такие постоянные M>0, N>0, что f(x)  M и g(x)  N для x[a,b]. Пусть Т – некоторое разбиение отрезка [a,b] и x’, x” – произвольные точки частичного отрезка [x_i-1,x_i]. Оценим выражение f(x”)g(x”)-f(x’)g(x’), для чего добавим и вычтем f(x’)g(x”). Получим:

f(x”)g(x”)-f(x’)g(x’)= f(x”)g(x”)-f(x’)g(x’)+ g(x”)f(x’)- f(x’)g(x”)= g(x”)(f(x”)- f(x’)) – f(x’)(g(x”)- g(x’)). Т.к.  f(x”)g(x”)-f(x’)g(x’)  _i, а  f(x”)-f(x’)  _i,  g(x”)-g(x’)  _i”, где _i , _i, _i” – соответственно колебания ф-ий f(x’)g(x”), f(x) и g(x) из отрезка [x_i-1,x_i], тогда

f(x”)g(x”)-f(x’)g(x’) < M_i”+N_i. А это значит, что _ix_i  M_i”x_i + N_ix_i = M_i”x_i + N_ix_i . Т.к. f(x),g(x) по условию интегрируемы на [a,b], то для заданного >0 можно указать такое разбиение Т этого отрезка, что _i”x_i</2M, а _ix_i<M/2M+N/2N=/2+/2=. Существует предел этой интегр. суммы, значит f(x)g(x) явл. интегрируемой ф-ией. Ч.т.д.

11 Св-ва определённого интеграла, выраженные нерав-ми.

1. Если ф-ия f(x) интегрируема на [a,b] и принимает на нём неотриц. значения, то f(x)dx>0.

Док-во. Каково бы ни было разбиение Т отрезка [a,b] и выбор точек _i[x_i-1,x_i], где i=1..n, для ф-ии, принимающей значения >0 на [a,b], любая интегр. сумма I{x_i,_i}>0. Переходя к пределу при 0 и получаем доказываемое утв-ние.Ч.т.д.

Следствие. Если ф-ии f(x) и g(x) интегрируемы на [a,b] и f(x)g(x) в любой точке этого отрезка, то f(x)dxg(x)dx.

2.Если f(x) интегрируема на [a,b] и a<b, то и ф-ия f(x) интегрируема на нём, причём f(x)dxf(x)dx.

Док-во. Т.к. f(x) интегрируема на [a,b], то она ограничена на нём. Значит, f(x) ограничена на [a,b]. Возьмём на промежутке [x_i-1,x_i] 2точки x’ и x”. Тогда  f(x”) -f(x’)    f(x”)-f(x’). Обозначим через _i колебания ф-ии f(x) на [x_i-1,x_i]. Тогда по опр. колебания имеет место нер-во: _i  _i”, так что _ix_i<_i”x_i . При условии a<b все x_i >0 и при _ix_i 0 влечёт _i”x_i 0 при 0, где _i” – колебания ф-ии f(x”)-f(x’). Переходя к пределу, и получим доказываемое утверждение. Ч.т.д.

3. Если f(x) интегрируема на [a,b], a<b и для любой точки [a,b] выполняется mf(x)M, то m(b-a) f(x)dxM(b-a).

Док-во. Рассмотрим нер-во mx_i  f(_i)x_i  Mx_i и перейдём к пределу при 0 и получим доказываемое утверждение. Ч.т.д.

Теоремы о среднем.

1. Пусть ф-ия f(x) интегрируема на [a,b] и на всём этом отрезке mf(x)M. Тогда f(x)dx=(b-a), где [m,M].

Док-во. Рассмотрим m(b-a) f(x)dx  M(b-a). Пусть = f(x)dx/(b-a)  m    M. Тогда выполняется доказываемое рав-во. Ч.т.д.

2(обобщённая теорема о среднем). Пусть f(x) и g(x) интегрируемы на [a,b] и m,M – точные нижняя и верхняя грани f(x) на [a,b] и g(x)0 (g(x)0) на [a,b]. Тогда найдется такое число [m,M], что f(x)g(x)dx=f(x)dx.

Док-во. Будем считать, что g(x)0 на [a,b] при a<b. Тогда f(x)g(x)mg(x), f(x)g(x) Mg(x). На основании св-ва 2 (из св-в опр. интегралов, выраженных нерав-ми) и следствия св-ва 1 (оттуда же) получим: mg(x)dxf(x)g(x)dxMg(x)dx (). Т.к. g(x)0, то g(x)dx0. Если g(x)dx=0, то f(x)g(x)dx=0 и теорема доказана. Если же g(x)dx>0, то разделив на него все три части нер-ва (), получим: f(x)g(x)dx/g(x)dx=, где [m,M]. Ч.т.д.

Следствие.

Если f(x) непрерывна на [a,b], то с[a,b], что f(x)g(x)dx=f(c) g(x)dx.

№12. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Основная Теорема интегрального исчисления.

До сих пор переменную интегрирования мы обозначали буквой х, но очевидно ничего не измениться, если переменную интегрирования обозначить какой-либо другой буквой, лишь бы сохранить пределы интегрирования и подинтегральную функцию, это значит что символ f(x)dx означает тоже самое, что и интеграл f(t)dt ( f(z)dz…).

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b] и интегрируема на этом отрезке, тогда она интегрируема и на любом отрезке [a,x], где х – любое число из [a,b]. Заменяя f(x)dx верхний предел переменной t получим f(t)dt, F(x) зависит от х, называется интегралом с переменным верхним пределом.

Т.(о существовании первообразной): любая непрерывная на интервале (а,b) функция f(x) имеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразных является функция F(x)= f(t)dt,где с – любая фиксированная точка из интервала (a,b).

Док-во: докажем, что для любого фиксированного значения х€[a,b] существует lim(Δx→0) (F(x+ Δx)-F(x))/ Δx, докажем что такой lim существует и он равен f(x). В силу св-ва (4) определенного интеграла имеем F(x+ Δx)-F(x)= f(t)dt - f(t)dt = f(t)dt+ f(t)dt- f(t)dt= f(t)dt. Применим теорему о среднем: F(x+ Δx)-F(x)= f(t)dt =f(ε)Δx, где ε – число принадл. (x, x+Δx) и Δx выбираем так, чтобы значение x+Δx не выходило бы за пределы промежутка, на котором определена функция f(x). Поскольку функция f(x) непр. в точке х, то при Δx→0 f(ε)→f(x) откуда следует lim(Δx→0) (F(x+ Δx)-F(x))/ Δx= lim(Δx→0) f(ε)=f(x). Получили F’(x)=f(x), значит F(x) – первообразная для f(x), т.е. инт. с переменным верхним пределом для подинт. Функции f(x) является первообразной для f(x). Ч.Т.Д.

Замечание: 1.Аналогичным способом доказывается Теорема о существовании первообразной непрер. на отрезке [a,b] f(x). В этом случае в качестве ниж. Lim интегрирования число а.

2.из док-ва Теоремы видно, что

3.доказанную Теорему легко распространить на случай инт. с ниж. Границей инт-ия, т.к. f(t)dt= - f(t)dt.

Т.( Основная Теорема интегрального исчисления): пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и пусть функция F(x) является первообразной функции f(x) на этом отрезке. Тогда f(x)dx= F(b)-F(a).

Формула показывает, что значение определенного интеграла функции f(x) в пределах от а до b равно разности значений какой-либо первообразной в точке b и а.

Док-во: известно, что любые двух первообразные функции f(x) отличаются на постоянную величину. Пусть Ф(х)= f(t)dt есть какая-либо первообразная функции f(x) и пусть F(x) – другая первообразная этой функции, тогда Ф(х)=f(x)+c, a<=x<=b, значит f(t)dt=F(x)+c, полагая в последнем равенстве х=а, получим f(t)dt=F(a)+c; F(a)+c=0, с= -F(a), полагая в этой же формуле х=b поучим: f(t)dt=F(b)+c, остается вместо с подставить его значение. Получим f(t)dt= F(b)-F(a). Поскольку опред. инт. не зависит от обозначения переменной, то имеем: f(x)dx= F(b)-F(a). Ч.Т.Д.

Замечание: для краткости записи часто употребляется обозначение:

f(x)dx= F(x)│ . Из доказанной теоремы следует, что значение опр.инт. выражается разностью двух значений любой первообразной для функции f(x) при х=b, x=a.

№13.Методы вычисления определенного интеграла.

А) замена переменной в опр.инт.

Т.Пусть:1.функция f(x) непрерывна на [a,b]. 2.отрезок [a,b] является множеством значений некоторой функции x=g(t), определенной и непрерывной вместе со своей производной g’(x) на отрезке [α,β]. 3.g(α)=a, g(β)=b, g(α)=a<=g(t)<= g(β)=b; Тогда справедлива формула:

f(x)dx= ; f(t)dt= , где dg(t)=g’(t)dt. Эта формула называется формулой замены переменной в опр.интеграле.

Док-во: рассмотрим какую-либо первообразную Ф(t) функции f(x), по формуле Ньютона-Лейбница имеем: f(x)dx=Ф(b)-Ф(а). Т.к. функции Ф(x) и x=g(t) диф-емы на соответствующих отрезках, то сложная функция Ф(g(t)) является диф-емой на отрезке [α,β]. Применим правило диф-ния сложной функции:

d/dt * (Ф(g(t))= Ф’(g(t))*g’(t). При этом производная функции Ф по переменной х, т.е. Ф’(g(t))=Ф’(x), где x=g(t). Поскольку Ф’(x)=f(x), то при x=g(t) получим, что Ф’(g(t))=f(g(t)). Подставляя это значение в правую часть производной функции Ф(g(t)), получим: d/dt * (Ф(g(t))= f(g(t))*g’(t), а это значит, что Ф(g(t)) является на отрезке [a,b] первообразной для функции f(g(t))*g’(t), следовательно = Ф(g(β))-Ф(g(α)), поскольку g(α)=a, g(β)=b, то = Ф(b)-Ф(a) и окончательно имеем: f(x)dx= .

Замечание: в отличие от вычисления неопр.инт. с помощью замены переменной, где необходимо было возвращаться к старой переменной х, при вычислении опр.инт. в этом нет необходимости, т.к. значение опр.инт. не зависит от обозначения переменной.

Б)интегрирование по частям

Т. Если функции U(x) и V(x) непрерывны вместе со своими производными на отрезке [a,b] то: =U(x)*V(x)│ - .

Замечание: т.к. V’(x)dx=dV(x), а U’(x)dx=dU(x), то последнюю формулу можно записать в виде: UdV= UV│ - VdU.

Формулы, фигурирующие в условии теоремы, а также и в замечании называются формулами инт-ия по частям в опр.инт.

Док-во: из диф-ия произведения и свойств опр.инт. следует, что = = + , причем все записанные выше интегралы существуют, т.к. подинт. Функции непрерывны по условию теоремы. Из формулы Ньютона-Лейбница следует, что = UV│ . Отсюда UV│ = + = + . Имеем = UV│ - .Ч.Т.Д.

Замечание:1. в некоторых случаях метод инт-ия по частям применяется несколько раз;2. метод инт-ия по частям иногда удобно сочетать с методом замены переменной.

№14.Площадь как предел. Условие квадрируемости плоской фигуры. Квадрируемость криволинейной трапеции и криволинейного сектора.

Критерий квадрируемости.

Для того, чтобы фигура (Р) была квадрируема, необходимо и достаточно, чтобы ее контур (к) имел площадь равную нулю. Например, любая непрерывная кривая, которая задается уравнением y=f(x), является квадрируемой. Рассмотрим функцию y=f(x), определенную на отрезке [a,b], по заданному ε>0 этот отрезок можно разбить на частичные отрезки: [x_i-1,x_i], так чтобы на каждом из них колебания ω_i функции y=f(x) было равно ε/(b-a). Если обозначить через m_i и M_i наибольшее и наименьшее значения функции на этом чатичном отрезке, то всю фигуру можно покрыть фигурами, состоящими из прямоугольников, общая площадь которых равна: = < ε/(b-a).

= ε/(b-a)*(b-a)= ε, а это значит, что кривая y=f(x) имеет нулевую площадь. Из изложенного выше также следует, что если фигура (Р) ограничена несколькими непрерывными фигурами, каждая из которых задается уравнением вида y=f(x), то эта фигура квадрируема, т.к. каждая из таких кривых имеет нулевую площадь, то и весь контур имеет нулевую площадь.

Условие квадрируемости плоской фигуры можно сформулировать еще и следующим образом:

Т. Для того, чтобы фигура (Р) была квадрируема, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие две последовательности многоугольников {A_n}, {B_n} соответственно содержащихся в (Р) и содержащие (Р), площади которых имели бы общий предел, т.е.Lim(n→∞) A_n= Lim(n→∞) B_n.

Каждый из таких пределов является площадью фигуры (Р). В некоторых случаях, вместо многоугольников выгоднее использовать другие фигуры, квадрируемость которых уже установлена.

А) Площадь криволинейной трапеции.

Опр. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком функции y=f(x), непрерывной и неотрицательной на отрезке [a,b] прямыми x=a, x=b и отрезком оси ОХ, заключенным между точками а и в.

Т.Криволинейная трапеция представляет собой квадрируемую фигуру, площадь Р которой вычисляется по формуле: P = f(x)dx.

Док-во: рассмотрим некоторое разбиение Т отрезка [a,b]. Т.к. функция f(x) непрерывна на нем, а значит и интегрируема на нем, то для любого ε>0 существует такое разбиение Т этого отрезка, что разность - <ε, где и соответственно верхняя и нижняя сумма Дарбу, рассматриваемого разбиения Т. и равны соответственно _n и _n, где _n и _n являются площадями ступенчатых фигур, первая из которых содержит криволинейную трапецию, а вторая содержится в ней. Имеем, _n - _n<ε. Тогда на основании критерия квадрируемости заключаем, что криволинейная трапеция квадрируема. Поскольку предел верхних и нижних сумм Дарбу, когда Δ→0 равен f(x)dx и _{n<P< n,} то площадь криволинейной трапеции равна P = f(x)dx. Ч.Т.Д.

Замечание: 1) если криволинейная трапеция ограничена снизу и сверху кривыми y=f₁(x) и y=f₂(x), где x€[a,b], то площадь такой трапеции равна разности площадей двух фигур, при условии f₁(x)>0 и f₂(x)>0:

P = -

2) если функция f(x) непрерывна и неположительная на [a,b], то площадь такой криволинейной трапеции равна взятому с отрицательным знаком значению определенного интеграла: P = - f(x)dx.

3) если одна кривая лежит выше оси ОХ, а другая ниже ее, то площадь вычисляется:

P = │ - │

4) если функция y=f(x) меняет знак на [a,b], то площадь такой криволинейной трапеции равна сумме площадей криволинейной трапеции, расположенной выше оси ОХ и площади трапеции, расположено ниже ОХ, взятой с другим знаком, и вычисляется по формуле:

P = f(x)dx.

Б) площадь криволинейного сектора.

Пусть кривая l задана в полярной системе координат уравнением: r=r(Ө), где α<=Ө<=β, причем функция r(Ө) является непрерывной и неотрицательной на отрезке [α,β].

Опр. Плоская фигура, ограниченная прямой l= r(Ө) и двумя лучами, составляющих с полярной осью углы α и β, называется криволинейным сектором.

Т. Криволинейный сектор является квадрируемой фигурой, площадь Р которого вычисляется:

P = ½*

Док-во: рассмотрим разбиение Т отрезка [α,β] точками α = Ө₀< Ө₁<…< Ө_i<…< Ө_n-1< Ө_n=β и для каждой такой точки разбиения проведем соответственно радиус-векторы. Для каждого полученого отрезка [Ө_i-1, Ө_i] построим круговые секторы, радиусы которых равны min r_i и max R_i значению функции r(Ө) на этом частичном отрезке. В результате получим две веерообразные фигуры, одна из которых содержится в криволинейном секторе, а вторая – содержит его. Площади _n и таких веерообразных фигур равны соответственно: = ½* и = ½* (на основании формулы площади кривого сектора). Первая из этих сумм является верхней суммой Дарбу, а вторая – нижней для функции ½* и эти суммы соответствуют указанному выше разбиению Т отрезка [α,β]. А тогда при _I →0 обе эти суммы имеют предел : ½* . Откуда следует, что криволинейный сектор является квадрируемой фигурой, площадь которой равна: P = ½* . Ч.Т.Д.

№15. Понятие кубируемости и объёма; объём тел вращения и площадь поверхности вращения.

Понятие кубируемости тела.

При рассмотрении площади фигуры мы из понятия площади многоугольника установили понятие площадь произвольной фигуры. Подобным образом из понятия объёма многогранника можно установить понятие объёма тела. Под телом будем понимать часть пр-ва, ограниченную замкнутой непересекающейся пов-тью.

Пусть дано тело (Р) произвольной формы. Будем рассматривать многогранники, вписанные в это тело и всевозможные многогранники описанные вокруг него. Всегда существует точная верхняя грань многогранников целиком содержащихся в (V) и точная нижняя грань многогранников, содержащих (V). Их общий предел, если он сущ-ет, и наз-ся объёмом тела(V). Если обозначить точную верхнюю грань V˛, нижнюю V*, то можно принять следующее определение.

Опр. Тело (V) наз-ся кубируемым, если V˛ и V* в пределе совпадают и при этом число V=V˛=V* наз-ся объёмом тела (V).

Из опр-я следует, что тело (V) имеет объём и явл-ся кубируемым только тогда, когда его верхний объём, т.е. объём многогр. содержащих (V), совпадает с нижним объёмом.

Теорема (критерий кубируемости):

Для того, чтобы тело (V) было кубируемым необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 можно указать такой описанный вокруг тела многогранник, разность объёмов которого меньше ε, т.е. V˛-V*<ε.

Доказательство:

Тоже что и у квадрируемости плоской фигуры.

Критерий кубируемости в другой форме:

Теорема (критерий кубируемости):

Для того, чтобы тело (V) было кубируемым необходимо и достаточно, чтобы ограничивающая его поверхность (S) имела нулевой объём. Из теоремы следует, что тело (V) явл-ся кубируемым, если его огранич. пов-ть (S). Можно заключать в многогранное тело с произвольно малым объёмом или с нулевым объёмом, что тоже самое. К числу поверхностей имеющих нулевой объём принадлежащий поверхности, задаваемые явным ур-ем одного из следующих трёх видов: z=f(x,y); y=g(x,z); x=h(y,z), где f, g, h непрерывные функции своих аргументов в некоторых ограниченных областях.

Сформулируем основные свойства кубируемых тел:

1. Если тело (V) ограничено несколькими непрерывными поверхностями, каждая из которых порознь выражается явным ур-ем, т.е. ур-ем одного из таких видов, то (V) явл-ся кубируемым.

2. Если тело (V) разложено на 2 тела, (V1) и (V2), то из кубируемости 2-х этих тел вытекает кубируемость 3-го.

3. Для того чтобы тело (V) было кубируемым необходимо и достаточно, чтобы существовали две такие последовательности многогранников содержащих (V) и содержащихся в (V), объёмы которых имели бы общий предел: limV˛n=V*n=V.n→∞

4. Если для тела (V) можно построить такие две последовательности тел {V˛n} содержащих (V) и последовательность {V*n} содержащееся в (V), которые имеют объёмы и эти объёмы → к общему пределу, то и тело (V) имеет объём равный указанному пределу.

Выражение объёма тела интегралом.

Рассмотрим прямой цилиндр, в основании которого лежит плоская квадратичная фигура (Р), высота цилиндра равна Н и покажем, что такой цилиндр явл-ся кубируемым, т.е. имеем объём равный произведению площади основания на высоту.

Рассмотрим многоугольники (Аn) и (Вn) соответственно содержащиеся в (Р), так, что их площади Аn и Вn стремились к площади фигуры (Р). Если на этих многоугольниках построить прямые призмы высоты Н, то их объёмы Хn и Yn будут стремится к общему пределу V=PH, который приближенно и явл-ся объёмом данного цилиндра, причём Xn=An·H, Yn=Bn·H. Увеличивая число многоугольников (An) и (Bn) в пределе получим, что объём такого цилиндра равен произведению площади основания на высоту, т.к. limAn=P,n→∞,limBn=P,n→∞

Рассмотрим некоторое тело (V) ограниченное плоскостями x=a, x=b и будем рассекать это тело плоскостями перпендикулярными оси ОХ.

Будем считать, что все такие сечения плоскостями перпендикулярными оси ОХ явл-ся квадрируемыми. Пусть площадь сечения отвечающее абсциссе х равна Р(х), где a<x<b и пусть Р(х) явл-ся непрерывной функцией от х определенной на [a,b]. Спроектируем два таких сечения на какую либо плоскость перпендикулярную оси ОХ. Тогда их проекции могут либо содержаться одна в другой, либо частично пересекаться, либо лежать одна вне другой.

Рассмотрим случай, когда такие проекции сечений находятся одна в другой. B Покажем, что объём такого тела выражается формулой: V=∫P(x)dx.a Для док-ва разобьём отрезок [a,b] лежащий на оси ОХ точками a=x0<x1<x2<...<xί-1<xί<...<xn=b, и через точки деления проведем плоскости перпендикулярные к оси ОХ. Тогда всё тело разобьётся на n слоёв, ограниченных указанными выше сечениями. Рассмотрим ί-й слой ограниченный плоскостями. На отрезке [xί-1,xί] функция Р(х) принимает наибольшее и наименьшее значения: Мί и mί. Поместим рассматр. сечение на плоскость х=хί, тогда сечения содержатся в наиб., имеющим площадь Мί, и содержат в себе наим., имеющим площадь mί.

Построим на этих наиб. и наим. Сечении прямые цилиндры высотой ∆х=хί-(хί-1), тогда больший из цилиндров содержит в себе рассматриваемый слой, а меньший содержится в нем. Причём объёмы этих цилиндров будут равны соответственно Мί∆хί, mί∆хί. Из содержащихся цилиндров образуем тело (V*), а из содержащих цилиндров — (V˛), тогда их объёмы будут равны соотетственно n V*=∑mί∆xί; V˛=∑Mί∆xί.ί=1ί=1 Если длина наибольшего из отрезков разбиения ∆→0, то эти суммы будут иметь общий предел в силу св-ва (4) кубируемых фигур и этот предел принимается за объём тела (V) с одной стороны, а с другой он явл-ся определённым интегралом, т.е. будем иметь b V=∫P(x)dx а

Объём тел вращения.

Рассмотрим частичный предел, т.е. будем рассматривать тела вращения некоторой плоской фигуры вокруг оси ОХ. В этом случае всякое сечение явл-ся окружностью и такие сечения содержатся одно в другом (в наибольшем). Пусть на пл-ти ХОY кривая задается ур-ем y=f(x), где ф-ия f(x) определена на [a,b]. Будем считать, что на [a,b] f(x) явл-ся непрерывной и принимает только лишь неотрицательные значения. Будем вращать полученную так криволинейную трапецию вокруг оси ОХ. Тогда Р(х)=π·(f(x))²=πy². А тогда на основании выведенной выше формулы заключаем, что b V=∫πy²dx=π∫y²dx=π∫(f(x))²dx. a

Если криволенейная трапеция ограничена снизу и сверху кривыми y1=f1(x), y2=f2(x), то её объём V=π∫(y²2-y²1)dx или V=π∫((f2(x))²-(f1(x))²)dx. {интеграл от а до b}

Если криволинейная трапеция ограничена прямыми y=c и y=a и x=φ(y), то объём от вращения полученной по вращении вокруг оси OY

V=∫x²dy=∫(φ(y))²dy {интеграл от с до d}.

Площадь поверхности вращения.

Рассмотрим поверхность П, образованную вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной x=a, x=b, y=f(x) и ОХ. Определим понятие квадрируемости поверхности вращения.

Пусть Т-разбиение [a,b] на частичные отрезки точками a=x0<x1<x2<...<xί-1<xί<...<xn=b и пусть А0,А1,А2,…,Аί-1,Аί,…,Аn-1,Аn — соответствующие точки графика y=f(x). Построим ломаную линию А0А1А2…Аn. При вращении этой ломанной вокруг оси ОХ образуется поверхность П(Аί), которая состоит из боковых поверхностей усеченных конусов или цилиндров. Пусть Р(хί) — площадь П(Аί), тогда по формуле боковой поверхности конуса: Р(хί)=2π∑((yί+1)+yί)ℓί/2,{сумма от ί=1 до n}, где yί+1, yί – ординаты f(x) в точках yί+1, xί, длина усечённого конуса стремится к ℓί – длина звена Аί,Аί+1

n

Р(хί)=π∑(yί+1+yί)ℓί

ί=1

Опр. Р наз-ся пределом последовательности площадей Р(хί), если для любого ε>0 можно указать δ>0, что для любого Т вып-ся |Р(хί)-Р|<ε, при условии, что наибольшая длина ∆<δ.

Опр. Поверхность вращения П наз-ся квадрируемой, если сущ-ет предел Р площадей Р(хί), этот предел наз-ся площадью поверхности П: Р=limP(xί).

∆→0

Теорема (о квадрируемости поверхности):

Если f(x) определённая на [a,b] непрерывна на нем и имеет непрерывную производную f '(xί), то П, образованная вращением f(x) вокруг ОХ квадрируема и её площадь вычисляется по ф-ле: Р=2π∫f(x)√(1+(f '(x))²)dx.

Док-во:

Длина ℓί звена Аί-1Аί, рассматриваемой ломанной вычисляется ℓί=√((хί-хί-1)²+(yί-yί-1)²).

Используя ф-лу Логранжа, имеем yί-yί-1=f(xί)-f(xί-1)=f '(ε)(xί-xί-1).

n

Пусть xί-xί-1=∆xί, тогда ℓί=√(1+(f '(ε))²∆xί); Используя ф-лу Р(хί)=2π∑((yί+1+yί)ℓί)/2

ί=1

n n

P(xί)=2π∑f(εί)√(1+(f '(εί))²∆xί)+π{∑(yί-1-f(εί))+(yί-f(εί))√(1+(f '(εί))²)·∆xί}.

ί=1 ί=1

1-ая сумма b(*), есть интегральная сумма по условию теоремы интегрируема и имеет предел 2π∫f(x)√(1+(f '(εί))²)dx при условии, что max ∆→0. Покажем, что предел 2-ой суммы b(*)=0.

Возьмём ε>0. Поскольку f(x) равномерно непрерывна на [a,b] (по теореме Кантора), то по заданному ε можно указать δ>0, что при ∆<δ выполняется |yί-1-f(εί)|<ε, |yί-f(εί)|<ε.

Пусть М- наибольшее значение функции √(1+(f '(x))²) на отрезе [a,b], тогда для выражения 2-ой суммы в фигурных скобках справедлива оценка

n n

|∑(yί-1-f(εί)+(yί-f(εί)))√(1+(f '(εί))²)·∆xί|<2Mε∑∆xί=2Mε(b-a).

ί=1 ί=1

Учитывая, что ε – произвольное, предел выражения под модулем равен 0.

Замечание:

Если кривая y=f(x) задана параметрическими уравнениями x=φ(t), y=ψ(t), то с помощью

β

замены переменных получим формулу Р=2π∫ψ(t)√((φ'(t))²+(ψ'(t))²)·dt, где α≤t≤β.α

№16. Понятие длины дуги и спрямляемости кривой. Свойства спрямляемых кривых.

Понятие длины дуги.

Пусть на плоскости XOY незамкнутая кривая α задана параметрическими уравнениями x=φ(t), y=ψ(t), где α≤t≤β, φ(t) и ψ(t) – непрерывные на [α,β]. Пусть Т произвольное разбиение [α,β] точками α<t0<t1<...<tί<...<tn=β. Обозначим через М0, М1,…, Мί,…,Мn соответствующие точки данной кривой. Соединив точки отрезками имеем ломанную линию, которая наз-ся ломанной, вписанной в данную кривую и соответствующей данному разбиению. Т.к. ℓί – длина [Mί-1,Mί], ℓί=√((φ(tί)-φ(tί))²+(ε(tί)-ε(tί-1))²) , то длина всей ломанной равна ℓ=∑ℓί=∑√((φ(tί)-φ(tί))²+(ε(tί)-ε(tί-1))²) (1). {сумма от ί=1 до n}.

Опр. Если множество {ℓί=ℓ(tί)} длин, вписанных в данную кривую ломаных соответствующих всевозможным разбиениям Т ограничено, то кривая α наз-ся спрямляемой, а точная верхняя грань – длина дуги.

Из определения следует α≠β, ℓ>0.

Лемма: Пусть ℓ1(t1) – длина ломаной, вписанной в кривую ℓ и соответствующая некоторому разбиению Т1 и ℓ2(tί) – длина ломаной, вписанной в ℓ и соответствующая разбиению Т2, того же отрезка [α,β]. При чём разбиение Т2 получается из Т1 путём прибавления нескольких новых точек. Тогда ℓ1(t1)≤ℓ2(tί).

Док-во:

Ограничимся рассмотрением случая, когда к разбиению Т1 добавляется одна точка γ. Тогда ломаная соответствующая Т2 отличается от ломаной соответствующей Т1 лишь тем, что звено Мί-1Мί заменяется двумя звеньями Мί-1С и СМί, где соответствует γ. Известно, что длина |Мί-1Мί| треугольника Мί-1СМί не привосходит суммы длин двух других его сторон. Следовательно ℓ1(t1)≤ℓ2(tί).

Ч.т.д.

Сформулируем некоторые св-ва спрямляемых кривых:

1) Если кривая L спрямляема, то длина ℓ её дуги не зависит от параметризации этой кривой.

2) Если спрямляемая кривая L разбита при помощи коночного числа точек на конечное число кривых Lί, то каждая из них спрямляема и сумма длин ℓί всех частичных кривых Lί равна длине ℓ кривой L.

3)Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями x=φ(t) и y=ψ(t). Обозначим через ℓ(t) длину дуги Lί кривой L. Точки дуги Lί определяются всеми значениями параметра t из [α,t]. Тогда функция ℓ(t) явл-ся непрерывной и возрастающей функцией параметра t. Функцию ℓ=ℓ(t) называют переменной дугой на L.

4) Переменная дуга ℓ(t) может быть выбрана в качестве параметра. Этот параметр называется натуральным параметром на кривой L.

Свойства 1, 2, 3 принимаем без док-ва. Справедливость св-ва (4) вытекает из св-ва 3. Т.к. переменная дуга ℓ=ℓ(t) явл-ся возрастающей и непрерывной ф-ей параметра t, то и t может быть представлен в виде монотонной и непрерывной функцией переменной дуги ℓ, т.е. t=f(ℓ).

№17. Теорема о спрямляемости кривой и длине дуги.

Теорема:

Если ф-ии х=φ(t), y=ψ(t) имеют на [α,β] непрерывные производные, то кривая L, определяемая парам. уравнениями х=φ(t), y=ψ(t) спрямляема и длинна ее дуги вычесляеться по формуле:

β

ℓ=∫√(φ'(t))²+(ψ(t))²)dt (1)

α

Док-во. n

Сначала докажем спрямляемость L. Для этого рассмотрим равенство ℓ(tί)=∑ℓί

n ί=1

ℓ(tί)=∑√((φ(tί)-φ(tί-1))²+(ψ(tί)-ψ(tί-1))²) (2).

ί=1

Поскольку φ(t) и ψ(t) дифференцируемы на отрезке [α,β], то применив ф-лу Логранжа получим φ(tί)-φ(tί-1)=φ'(τί)∆tί, где ∆tί=tί-tί-1, а τί – точка принадлежащая (α,β).

ψ(tί)-ψ(tί-1)=ψ'(τί*)∆tί, где τί принадлежит (α,β). При этом (2) принимает вид

n

ℓ(tί)=Σ √((φ'(τί))²+(ψ'(τί*))²)∆tί

ί=1

Т.к. φ'(t) и ψ'(t) непрерывны на [α,β], т.е.сушествует M|φ'(tί)|≤ M и |φ'(τί*)|≤ M для любого t принадлежащего [α,β].

n n

Откуда следует ,что 0≤ℓ(tί)√(2)≤Σ√(M²+M²)∆tί, 0≤ℓ(tί)≤Σ∆tί=M(α,β)√(2)= √(2)M(β-α).

ί=1 ί=1

Получим, что мн-во{ℓ(tί)} значений длинны ℓ(tί), который соответствует всевозможным разбиениям отрезка [α,β] ограничено. А, значит, дуга L спрямляема. Покажем что длинна ℓ дуги L может быть вычеслена по формуле (1). Отметим что правая часть формулы(2)

n

похожа на интегральную сумму (4) J(tί,τί}=Σ√((φ'(τ²))+(ψ(τί)))²∆t. Очевидно что такая

ί=1

интегральная сумма берется от ф-ии √((φ'(τί))²+(φ')(τί*)²). Докажем, что для любого ε>0

β

можно указать δ>0, что при ∆<δ выполняется |ℓ(tί)-J|<ε/2, где J=∫√((φ'(t))²+(ψ'(t))²)dt, где J

α

предел интегральных сумм вида(4) при∆→0. Произведем оценку разности |√((φ(τί))²+(ψ'(τί))²)-√((φ'(τί))²-(ψ'(τί))²)|≤Mί-mί, где Mί, mί – точные грани ф-ии ψ'(t) на [tί-1,tί] в силу условий (3),(4),(5) имеет место

|ℓ(tί)-I{tί,τί}|=|Σ√((φ'(τί))²+(ψ'(τί))²)-√((φ'(τί))²-(ψ'(τί))²)∆tί|≤Σ(Mί-mί)∆tί=Ş-ŝ, где Ş, ŝ- верхняя и нижняя суммы Дарбу для ψ(t) и данного отрезка [α,β]. Т.к. функции √((φ'(t))²+(ψ'(t))²) и ψ'(t) явл-ся интегрируемыми на [α,β], в силу непрерывности φ'(t) и ψ'(t), то из определения и критерия интегрируемости следует, что для любого ε>0 можно указать такое δ>0, что при ∆<δ выполняется неравенство: |I{tί,τί}-I|<ε/4 и Ş-ŝ<ε/4 (6).

А тогда при ∆<δ в силу (5) и (6) справедливы неравенства:

|ℓ(tί)-I|=|ℓ(tί)- I{tί,τί}-I+ I{tί,τί}|=|ℓ(tί)- I{tί,τί}|+|I{tί,τί}-I|<ε/4+ε/4=ε/2.

Таким образом справедливость неравенства доказана. Докажем, что среди всевозможных ломаных, длины которых удовлетворяют неравенству |ℓ(tί)-I|<ε/2 имеются ломаные, длины которых отличаются от длины ℓ кривой L меньше чем на ε/2. Т.к. ℓ - верхняя точная грань множества {ℓ(tί)} длин ломаных вписанных в кривую L и соответствующих всевозможным разбиениям отрезка Т* этого отрезка, что длина ℓ*(tί) соответствующая ломаной, что |ℓ-ℓ*(tί)|<ε/2 (7).

Разобьём теперь каждый из частичных отрезков [tί-1,tί] разбиения Т* на столь мелкие части, чтобы максимальная длина частичного отрезка разбиения Т* отрезка [α,β] полученного объединением полученных разбиений было меньше δ (∆<δ). При этом длина ломаной соответствующая такому разбиению удовлетворяет нер-ву:

|ℓ(tί)-ℓ|<ε/2, |ℓ(tί)-I|<ε/2.

Т.к. вершины ломаной разбиения Т* явл-ся также вершинами ломаной соответствующей другому разбиению Т, то в силу указанной выше Лемме длина ℓ(tί) удовлетворяет неравенствам : 0≤ℓ*(tί)≤ℓ(tί)≤ℓ. Поэтому в силу неравенства 0≤ℓ-ℓ*(tί)<ε/2 вып-ся нер-во 0≤ℓ-ℓ(tί)<ε/2 (8). Сопоставляя |ℓ(tί)-I|<ε/2 и (8) получим |ℓ-ℓ(tί)-ℓ(tί)+I|≤|ℓ-ℓ(tί)|+|ℓ(tί)-I|≤ε/2+ε/2=ε. В силу произвольности выбора ε, следует ℓ=I, т.е. длина дуги выч-ся по фориуле: ℓ=√((φ'(t))²+(ψ(t)²))dt. {интеграл от α до β}.

Ч.т.д.

Примечание:

1) Если кривая L явл-ся графиком функции y=f(x) имеющей на [a,b] непрерывную производную f '(x), то L спрямляема и длина её дуги на [a,b]: ℓ=√(1+(f '(x))²)dx. Формула следует из доказанной выше теоремы, если рассматривать у-е прямой, как x=t, y=f(t).

2) Если кривая L определяется уравнением в полярных координатах r=r(θ), где θ1≤θ≤θ2 и r(θ) имеет непрерывную производную на [θ1,θ2], то L спрямляема и длина её дуги на [θ1,θ2]: ℓ=∫√((r(θ))²+(r'(θ))²)dθ. {интеграл от θ1 до θ2}.Формула следует из доказанной выше теоремы, если перейти от полярных координат к декартовым (x=r(θ)cosθ, y=r(θ)sinθ).

3) Если кривая L явл-ся пространственной и задана параметрически x=φ(t), ψ(t), z=η(t), где α≤t≤β, а φ(t), ψ(t) и η(t) имеют непрерывные производные на [α,β], то L спрямляема и длина её дуги на [α,β]: ℓ=∫√((φ'(t))²+(ψ'(t))²+(η'(t))²)dt.

№ 18 ( Масса и центр тяжести неоднородного стержня…)

(Масса и центр тяжести неоднородного стержня). Рассмотрим неоднородный стержень (с переменной ρ), расположенный на отрезке [a,b] оси OX. Пусть ρ(x)- линейная плотность стержня на о. [x,x+Δx]. Обозначим через Т разбиение отрезка [a,b] точками: a=x0<x1<x2<...<xi-1<xi<...<xn-1<xn=b. Выберем на каждом частичном отрезке [xi-1;xi], где i=1...n, точку ξi и рассмотрим сумму ∑(i=1...n)ρ(ξi)Δxi, где Δxi= xi+1+xi, каждое такое слагаемое суммы представляет собой приближённое значение массы частичного отрезка, а это значит, что указанную сумму можно принять за приближённое значение массы всего стержня. При этом точность такого приближённого значения возрастает, если уменьшаются длины из каждого частичного отрезка разбиения.

Опр. Массой m стержня, расположенного на отрезке [a,b] оси OX называется предел суммы ∑(i=1...n)ρ(ξi)Δxi при стремлении длины наибольшего из отрезков разбиения к 0 (Δ→0), если такой предел существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка [a,b] на частичные отрезки, ни от выбора точек ξi, т.е. m= lim(∑(i=1...n)ρ(ξi)Δxi)=∫(a,b) ρ(x)dx (Δ-max из {Δxi}.

Пусть имеется некоторое множество материальных точек, имеющих массы mi и расположенных в точках xi оси OX, тогда координата xc центра тяжести системы точек массами m1, m2,..., mn вычисляется по формуле: xc= (x1m1+x2m2+...+xnmn)/(m1+m2+...+mn)=

((∑(i=1...n)mixi)/( ∑(i=1...n)mi)(1). Рассмотрим указанное выше разбиение отрезка [a,b] на частичные отрезки и вычислим массу mi частичного отрезка [xi;xi+1]. Имеем:

mi=∫(xi;xi+1) ρ(x)dx; применив теорему о среднем, получим: mi= ρ(ξi)Δxi, где Δxi- длина данного отрезка. Будем считать, что масса mi данного частичного отрезка сосредоточена в точке ξi, тогда неоднородный стержень можно рассматривать как систему материальных точек с массами mi , расположенных в точках ξi отрезка [a,b], где a≤ ξi≤b. Поскольку масса стержня m=∫(a,b) ρ(x)dx≈(∑(i=1...n)ρ(ξi)Δxi), то из формулы (1) можно найти приближённое значение координаты xc центра тяжести данного стержня:

Xc=(∑(i=1...n) (ρ(ξi)Δxi) ξi)/m. (2).Выражение, стоящее в числителе последней дроби является интегральной суммой для функции xρ(x) на [a,b], тогда

Xc=(∫(a,b)xρ(x)dx)/( ∫(a,b) ρ(x)dx.

(Масса материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой).Пусть дана материальная точка массы m, расположенная в координатной плоскости XOY, тогда произведение mx, my называется статическим моментом относительно осей OX и OY. Пусть дана спрямляемая материальная кривая параметрически с помощью уравнений: x=φ(t) и y=ψ(t), где α≤t≤β и пусть линейная плотность этой кривой есть ρ(t), где ρ(t)-непрерывная на отрезке [a,b] функция. Рассмотрим произвольное разбиение Т отрезка [α,β] на n частичных отрезков. На каждом из таких частичных отрезков выберем по точке ξi, которая соответствует т. M(φ(ξi), ψ(ξi)) на данной кривой. При этом частичному отрезку [ti;ti+1] соответствует частичная дуга Li, длина которой Δ Li. Будем считать также, что на каждой из частичных дуг Li линейная плотность одинакова и равна ρ(ξi). Тогда масса частичной дуги Li данной материальной кривой m= ρ(ξi) Δ Li, а элемент массы Δm= ρ(t) Δ L, где dL=√(φ’(t) φ’(t)+ ψ(t) ψ(t))dt, откуда следует масса равна: m=∫(α,β)(ρ(t) √(φ’(t) φ’(t)+ ψ(t) ψ(t)))dt. Считая, что вся масса частичной дуги Li, сосредоточена в точке Mi, получим, что частичные статические моменты дуги Li относительно осей OX и OY будут приблизительно равны: Mix≈mi ψ(ξi);

Miy≈mi φ(ξi). Статические же моменты всей материальной кривой относительно координатных осей будут равны: Mx=∑(i=1...n) mi ψ(ξi); My=∑(i=1...n) mi φ(ξi). Перейдём к пределу в последних равенствах при Δ→0, где Δ-наибольшее из отрезков Δ Li и подставляя значения массы, окончательно получим:

Mx=∫(α,β)(ρ(t) ψ(t) √(φ’(t) φ’(t)+ ψ(t) ψ(t)))dt (относительно OX);

My=∫(α,β)(ρ(t) φ(t) √(φ’(t) φ’(t)+ ψ(t) ψ(t)))dt ( относительно OY).

Опр. Центром тяжести спрямляемой материальной кривой L на отрезке [α,β] называется такая точка M(x,y), где x,y из R, (x,y) из RR; что если в ней окончательно центрировать всю массу кривой L, то статические моменты этой точки M относительно координатных осей будут равны соответствующим статическим моментам кривой L относительно этих осей. Из опр. Следуют формулы для вычисления координат центра тяжести кривой:

X= My/m; Y= Mx/m, где статические моменты Mx и My, а также масса кривой L вычисляется по указанным выше формулам.

№19 (Масса материальной плоской фигуры…)

Пусть материальная плоская кривая задана с помощью системы неравенств:

0≤f1(x)≤y≤f2(x); a≤x≤b.Будем считать, что функции f1(x) и f2(x) определены и непрерывны на отрезке [a,b] и что масса данной фигуры распределена с плотностью ρ(x), где ρ(x) также определена и непрерывна на отрезке [a,b]. Рассмотрим любое разбиение Т на n частичных отрезков отрезка [a,b]. Будем считать, что плотность частичной полоски xi-1≤x≤xi;

f(xi-1) ≤y≤f(xi) приблизительно равна площади прямоугольника с основанием Δxi, равное:

Δxi= xi- xi-1, и высотой, равной hi= f2(xi)- f1(xi-1), где значения xi,xi-1 берутся как средние точки отрезка [xi-1, xi], а также будем считать, что плотность рассматриваемой полоски является постоянной и равна ρ(xi). При этом масса такой материальной полоски приблизительно будет равна: mi= ρ(xi)(f2(xi)- f1(xi)) Δxi, где xi=xi-1, а тогда масса всей фигуры будет равна сумме масс полученных частичных полосок:

m=∑(i=1...n) ρ(xi)(f2(xi)- f1(xi)) Δxi; переходя к пределу при Δ→0, получим

m=∫(a,b) ρ(x)(f2(x)- f1(x))dx. Будем считать далее, что масса всей полоски сосредоточена в т. Ai(xi; 0.5(f2(xi)- f1(xi))), т.е. считаем, что масса всей полоски находится в точке пересечения диагоналей прямоугольника-полоски, а тогда частичные статические моменты материальной фигура относительно координатных осей OX и OY будут соответственно равны: Mix= mi0.5(f2(xi)- f1(xi)); Miy= mixi. Просуммируем последнее равенство по i=1...n: Mx=∑(i=1...n) Mix; My=∑(i=1...n) и перейдём в полученных равенствах к пределу при Δ→0, получим: Mx=0.5∫(a,b) ρ(x)(f2(x) f2(x)- f1(x) f1(x))dx;

My=∫(a,b) ρ(x)(f2(x)- f1(x))dx.

Опр. Центром тяжести плоской квадрируемой материальной фигуры называется такая точка К(x,y), в которой если сконцентрировать всю массу данной фигуры, то статические моменты этой точки К относительно координатных осей будут равны соответственно статическим моментам всей фигуры относительно тех же осей.

Из определения следует, что My=xm; Mx=ym, откуда x=My/m; y=Mx/m.

Замечание. Если рассматривать криволинейную трапецию, ограниченную кривой e=f(x), прямыми x=a, x=b и осью OX, то формулы для вычисления статических моментов примут вид: Mx=0.5∫(a,b)(ρ(x)yy)dx; My=∫(a,b)(ρ(x)xy)dx,где y=f(x).

( Работа переменной силы). Пусть материальная точка перемещается из точки А на оси OX в точку B этой же оси под действием переменной силы F, параллельной этой оси. Будем считать, что сила F является функцией от х, определённой или неопределённой на отрезке [a,b]. Рассмотрим разбиение Т отрезка [a,b], на n частичных отрезков и на каждом таком частичном отрезке выберем точку ξi. Тогда работа переменной силы F(x) при перемещении точки на расстояние Δxi равна: Ai=F(ξi)Δxi, а приближённое значение всей работы на о. [a,b]: A=∑(i=1...n)Ai=∑(i=1...n) F(ξi)Δxi. Переходя к пределу при Δ→0, получим: A=∫(a,b)F(x)dx. Т.о. имеем формулу для вычисления работы переменной силы по перемещению математической точки на отрезок длиной (b-a).