8. Необходимые и достаточные условия интегрируемости.

Теорема: для того, чтобы ограниченная на отрезке [a,b] ф-ия f(x) была интегрируема на этом отрезке необходимо и достаточно, чтобы lim(∆→0)‌‌‌‌‌‌│Ş-ŝ│=0.

Замечание: на языке ε, δ условие lim(∆→0)│Ş-ŝ│=0 означает, что для любого ε>0 найдется такое δ>0, что если ∆<δ, то выполняется неравенство │Ş-ŝ│<ε при этом неравенство ∆<δ означает, что отрезок разбит на частичные отрезки с длинами ∆xi<δ.

Доказательство: 1. Необходимость: Пусть ф-ия f(x) интегрируема на [a,b] т.е. на нем существует определенный интеграл ф-ии f(x). Док-ем, что выполняется такое условие lim(∆→0)│Ş-ŝ│=0. Обозначим через I-предел интегральных сумм этой ф-ии, тогда по определению предела интегральных сумм для любого ε>0 найдется δ>0, что для всякого разбиения Т удовлетворяющему условию ∆<δ независимо от выбора точек Ęi(кси) на частичных отрезках разбиения выполняется неравенство: │I{xi,Ęi}-I│<ε или I-ε<I{xi,Ęi}<I+ε. Суммы ŝ и Ş при заданном разбиении Т отрезка [a,b] как → из предыдущего явл. для интегральных сумм соответственно точными нижней и верхней гранями, поэтому для них выполняется неравенство: I-ε<ŝ≤Ş<I+ε так что lim(∆→0)ŝ=I, lim(∆→0)Ş=I; → lim(∆→0)(Ş-ŝ)=lim(∆→0)Ş-lim(∆→0)ŝ=I-I=0б, необходимость доказана.

2. Достаточность: Пусть предел lim(∆→0)(Ş-ŝ)=0. Покажем, что ф-ия f(x) интегрируема на [a,b] т.к.для любого разбиения Т справедливо неравенство: ŝ≤I(*снизу)≤I*≤Ş где I(*снизу)=sup{ŝ}, I*=inf{Ş}, тогда согласно условию теоремы для любого ε>0 можно указать такое разбиение Т, что Ş-ŝ<ε, а тогда 0≤I*-I(*снизу)<ε. В силу того, что ε сколь угодно малое произвольное положительное число получим: I*=I(*снизу). Общее значение чисел I* и I(*снизу) обозначим через I и докажем, что это число явл. пределом интегральных сумм ф-ии f(x). Имеем ŝ≤I≤Ş. Пусть I{xi,Ęi] есть одно из значений интегральной суммы отвечающей тому же разбиению Т отрезка [a,b] что и суммы ŝ и Ş. Согласно усл. достаточности верхние и нижние суммы Дарбу отличаются меньше, чем на произвольное сколь угодно малое положительное число ε. Если предположить все ∆xi достаточно малыми т.е. если ∆→0 тогда получим что такая оценка разности верхней и нижней суммы Дарбу будет справедлива и для заключенных между ними числами т.е. │I{xi,Ęi}-I│<ε при ∆<δ, а это значит что I явл. пределом интегральных сумм т.к. такой предел сущест. то ф-ия f(x) интегрируема на [a,b]. Достаточность доказана. Ч.Т.Д. Замечание: пусть mi, Mi явл. точными верхними и нижними гранями знач. ф-ий на i-том частичном отрезке. Обозначим разность Mi-mi=ωi и найдем эту разность колебанием ф-ии f(x) на частичном отр. [xi-1,xi] тогда получим Ş-ŝ=∑(от i=1 до n)(Mi-mi)∆xi=∑(от i=1 доn)ωi∆xi , а тогджа условие интегрируемости ф-ии f(x) или что тоже самое сеществов. условия определенного интеграла записано записано в виде: lim(∆→0)∑(от i=1 до n)ωi∆xi=0 при этом необходимое и достаточное условие интегрирования ф-ии можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема: для того чтобы ф-ия f(x) была интегрируема на [a,b] необходимо и достаточно чтобы нашлось разбиение Т отрезка [a,b] для которого предел lim(∆→0)∑(от i=1 до n)ωi∆xi=0 или что тоже самое ∑(от i=1до n)ωi∆xi<ε.