Примеры 3–8

3. (N; +), (Z; +), (Q; +), (R; +) аддитивные группоиды. 4. (N; -) не является группоидом, т.к. действие вычитания не является бинарной операцией,

5. (Z; -), (Q; -), (R; -) - группоиды.

6. (N; ), (Z; ), (Q; )- мультипликативные группоиды,

7.(R ;log x) не является группоидом, так как операция логарифмирования - унарная операция.

8. (M ; +) - аддитивный группоид, (M ; )–мультипликатив-

ный группоид.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Подалгебра  типа (2) группоида  называется подгруппоидом.

При этом применяют запись  .

Примеры 9–11

9. (N; +) (Z; +) (Q; +) (R; +).

10. (N; ) (Z; ) (Q; ) (R; ).

11. (N; -) (Z; -) (Q; -) (R; -).

12. (V ;+) (V ;+).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ З. Бинарная операция называется ассоциативной, если выполняется условие

. (1)

В противном случае, то есть если в А найдется, по крайней мере, одна тройка элементов х, у, z, такая что , то бинарная операция называется неассоциативной..

В случае ассоциативности бинарной операции можно писать (x y) z = x (y z) = x y z.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Алгебра  типа (2) с ассоциатив-ной бинарной операцией называется полугруппой. Следовательно, полугруппа - это ассоциативный группоид. Обратное утверждение, очевидно, в общем случае неверно. Подалгебра полугруппы называется подполугруппой.

Примеры 9–14

9. (N; +), (Z;+), (Q; +), (R;+) - аддитивные полугруппы.

10. (N; ), (Z; ), (Q;), (R; ) - мультипликативные полугруппы.

11. (N;+), (Z;-), (Q;+) подполугруппы соответственно полу-групп (Z;+), (Q;+), (R;+).

12. (Z;-), (Q;-), (R;-) не являются полугруппами, так как бинарная операция " - " на Z, Q, R не является ассоциативной.

13. (U; ), (U; ) - полугруппы.

14. ( N; ), где бинарная операция определяется следующим образом

,

не является полугруппой, так как - не ассоциативная бинарная операция:

.

ОПРЕДЕДЕНИЕ 5. Бинарная операция на множества А называется коммутативной, если для любых элементов х, у из А выполняется условие

. 2)

В противном случае, то есть если в А найдется по крайней мере одна пара элементов х и y таких, что , бинарная операция называется некоммутативной.

Примеры 15–19

15. Операции сложения и умножения на множествах N, Z, Q, R являются коммутативными.

16. Композиция двух:

а) отображений;

б) функций;

в) подстановок некоммутативная.

17. Операция вычитания на множествах Z, Q, R некоммутатив-

ная.

18. Так как , то на множестве N бинарная операция , определенная правилом

не является коммутативной.

19. Умножение двух матриц на множестве М является некоммутативной бинарной операцией.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Центральным элементом множества А относительно бинарной операции называется каждый элемент с, перестановочный со всеми элементами х из А:

.

Множество всех центральных элементов множества А называется центром этого множества и обозначается С(А).Из определения 6 имеем

С = . (3)