Примеры 31–35

31. Число 0 является нейтральным относительно сложения на множествах Z, Q, R.

32. Число 1 является нейтральным относительно умножения на множествах N, Z, Q, R.

33. Во множестве всех подмножеств универсального множества U пустое множество является нейтральным элементом относительно операции объединения, так как выполняется условие

(VA U), ,

а само универсальное множество U - нейтральным элементом относительно операции пересечения, так как выполняется условие

(VA U) .

34. Ложное высказывание Л является нейтральным элементом относительно операции дизъюнкции v (т.к.( А)[А Л=А)], a высказывание И -относительно операции конъюнкции на множестве всех высказываний (т.к. (VА)[А И=А]).

35. Бинарная операция возведения в степень на множестве натуральных чисел N имеет правый нейтральный элемент e = l, а левого нейтрального элемента нет, следовательно, нет и общего нейтрального элемента. В самом деле,

,e = l,

.

Свойства нейтрального элемента.

1°. Если во множестве А с бинарной операцией существует нейтральный элемент е, то он единственный.

Доказательство. Пусть во множестве А существуют два нейтральных элемента e и е относительно бинарной операции . Тогда согласно определению 11 выполняются условия

, (7)

. (8)

В частности, при х= и х= соответственно в (7) и (8) получаем

.

Отсюда из равенства левых и средних частей получаем .

ч.т.д.

2°. Если во множестве А с бинарной операцией существует нейтральный элемент е, то все левые и правые нейтральные элементы совпадают с ним.

Доказательство. Это свойство является непосредственным следствием свойства 1°.

ч.т.д.

3°. Нейтральный элемент е относительно бинарной операции на множестве А является центральным элементом относительно бинарной операции .

Доказательство. Свойство 3° следует из определений центрального и нейтрального элементов (условия для определений одни и те же относительно элемента е).

ч.т.д.

4°(5°). При гомоморфизме (изоморфизме) h: А А' алгебры =(А; ,е) в (на) однотипную алгебру ' = (А'; ,е') нейтральный элемент е, относительно бинарной операции переходит в нейтральный элемент е' относительно бинарной операции .

Доказательство. Пусть при гомоморфизме (изоморфизме) h алгебры = (А; е) в (на) однотипную алгебру '=(А'; ,е') элемент х переходит в элемент х', а нейтральный элемент е, относительно бинарной операции на А переходит в элемент h(e)= е' множества A'. Покажем, что h(e)= е' -нейтральный элемент относительно бинарной операции на А'.

Учитывая то, что h - гомоморфизм (изоморфизм), а е - нейтральный элемент, имеем

.

или то есть элемент h(е)= е' - нейтральный элемент относительно бинарной операции на А.

ч.т.д.

Примеры 36–37

36. В примере 2 §2 доказывается, что при ортогональном проектировании на плоскость XOY векторов пространства Ез (которое является эпиморфизмом) нуль-вектор из Ез переходит в нуль - вектор плоскости XOY.

37. В примере 3 §2, показано, что: во-первых отображение h: R R, определяемое правилом

.

является изоморфизмом, а во-вторых, что при этом единица алгебры  переходит в нуль алгебры  .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12. Алгебра =(А; ,е) типа (2,0) с ассоциативной бинарной операцией называется моноидом.

По-другому моноид - это полугруппа A = (А; е) с выделенным нейтральным элементом. Любая подалгебра моноида называется подмоноидом. Подмоноид всегда является полугруппой с нейтральным элементом.

6°. Если существует нейтральный элемент е относительно бинарной операции на множестве А и если A - подмножество множества А, содержащее е, то е является нейтральным элементом относительно бинарной операции */A , которая индуцируется на A бинарной операцией .

Но может случиться, что индуцированная бинарная операция */А на обладает A нейтральным элементом e , когда А не содержит e или даже когда относительно бинарной операции на А не существует нейтрального элемента.

п. 5. Поглощающие элементы.

Пусть - бинарная операция во множестве А.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13. Элемент называется поглощающим относительно этой операции, если для любого выполняется равенства

.

Таким образом 0 – поглощающий элемент относительно операции умножения.

Как и для нейтральных элементов, доказывается, что в А не может быть двух различных поглощающих элементов относительно операции . В самом деле, если и ₁ – поглощающие элементы, то ₁ должно равняться и , и ₁, а потому = ₁.

Если - поглощающий элемент относительно операции , то любое выражение, содержащее лишь эту операцию, в которое входит , можно заменить на .

Например, .

п. 6. Регулярные элементы.

Пусть - бинарная операция на множестве А.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. Элемент r из А называется регулярным слева относительно бинарной операции , если выполняется условие:

. (9)

По-другому, элемент r из А регулярен слева, - если возможно "левое сокращение" на r .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Элемент r из А называется регулярным справа относительно бинарной операции , если выполняется условие:

. 10)

По-другому, элемент r из А регулярен справа, - если возможно "правое сокращение" на r .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 16. Элемент r из А называется регулярным относительно бинарной операции , если он регулярен слева и справа относительно , то есть выполняются условия:

.

Таким образом, в случае регулярности элемента r относительно бинарной операции в равенствах типа r х = r у и х r=у r возможно "сокращение" на r.