- •§1. Бинарные операции
- •Примеры 1–2
- •Примеры 3–8
- •Примеры 9–11
- •Примеры 9–14
- •Примеры 15–19
- •Примеры 20–22
- •Примеры 23–24
- •Примеры 25–30
- •Примеры 31–35
- •Свойства нейтрального элемента.
- •Примеры 36–37
- •Примеры 38–42.
- •Свойства регулярных элементов
- •Свойства симметричных элементов
- •Примеры 44–47
- •Свойства нейтрального элемента.
- •Свойства регулярных элементов
- •Свойства симметричных элементов
Свойства нейтрального элемента.
1°. Если во множестве А с бинарной операцией существует нейтральный элемент е, то он единственный.
2°. Если во множестве А с бинарной операцией существует нейтральный элемент е, то все левые и правые нейтральные элементы совпадают с ним.
3°. Нейтральный элемент е относительно бинарной операции на множестве А является центральным элементом относительно бинарной операции .
4°(5°). При гомоморфизме (изоморфизме) h: А А' алгебры =(А; ,е) в (на) однотипную алгебру ' = (А'; ,е') нейтральный элемент е, относительно бинарной операции переходит в нейтральный элемент е' относительно бинарной операции .
6°. Если существует нейтральный элемент е относительно бинарной операции на множестве А и если A - подмножество множества А, содержащее е, то е является нейтральным элементом относительно бинарной операции */A , которая индуцируется на A бинарной операцией .
Свойства регулярных элементов
1°. Если на множестве А существует нейтральный элемент е, относительно бинарной операции , то он регулярен относи-
тельно
2°. Если элементы r и r регулярны относительно ассоциативной бинарной операции на А, то их композиция r r также является регулярным элементом относительно .
3°. Если элемент r регулярен относительно бинарной операции на А, то он регулярен и относительно бинарной операции */A , индуцированной этой операцией на каждом замкнутом относительно подмножестве A , содержащем r (но элемент из A может быть регулярным в A , не будучи регулярным в А).
Свойства симметричных элементов
1°. Если бинарная операция на А ассоциативная и элемент A -симметризуем, то существует единственный элемент, симметричный к х.
2°. Если элемент х из А имеет симметричный элемент s(x) относительно ассоциативной бинарной операции , то все левые и все правые симметричные к х элементы совпадают с элементом s (х).
3°. Если элементы х и у из А симметризуемы относительно ассоциативной бинарной операции , то их композиция х у также симметризуема и элемент s(y) s(x) является симметричным к х у.
4°.Элемент х из А, симметризуемый относительно ассоциативной бинарной операции , является регулярным относительно .