Примеры 38–42.

38. Каждое натуральное (целое, рациональное, действительное) число регулярно относительно сложения, так как в равенствах типа: n+х=n+у и х+n=у+n, где n, х, у - любые натуральные числа, возможно уничтожение на n.

39. Число 0 - не регулярно относительно умножения на множестве Z(Q, R), так как не выполняется условие:

.

40. Всякое целое (рациональное, действительное) число, отличное от 0, регулярно относительно умножения, так как

.

41. Каждое натуральное число, отличное от 1, регулярно относительно возведения в степень, так как

.

42. Во множестве всех подмножеств универсального множества U пустое множество есть единственный элемент, регулярный относительно операции объединения, так как

,

а U- единственный элемент, регулярный относительно операции пересечения, так как

.

Свойства регулярных элементов

1°. Если на множестве А существует нейтральный элемент е, относительно бинарной операции , то он регулярен относи-

тельно .

Доказательство. Из определения нейтрального элемента е следует выполнение условий:

,

которые равносильны условиям (11). Следовательно, е является регулярным относительно бинарной операции .

ч.т.д.

2°. Если элементы r и r регулярны относительно ассоциативной бинарной операции на А, то их композиция r r также является регулярным элементом относительно .

Доказательство. Пусть r и r - регулярные элементы из А относительно бинарной операции . Пусть х, у - элементы из А, удовлетворяющие условиям:

, (12)

, (13)

Поскольку бинарная операция ассоциативная, то из (12) получаем

,

откуда в силу регулярности элемента r имеем r х = r у, далее, в силу регулярности элемента r получаем х =у.

Итак,

,то есть элемент r r - регулярен слева.

Аналогично доказывается, что элемент r r -регулярен справа:

(13) .

Следовательно, элемент r r является регулярным на А относительно .

ч.т.д.

3°. Если элемент r регулярен относительно бинарной операции на А, то он регулярен и относительно бинарной операции */A , индуцированной этой операцией на каждом замкнутом относительно подмножестве A , содержащем r (но элемент из A может быть регулярным в A , не будучи регулярным в А).

п. 7. Симметричные элементы.

Когда речь идет о симметричных элементах алгебры (А ; ), то всегда имеется ввиду существование нейтрального элемента е.

Пусть = (A; , e) - алгебра типа (2,0).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 17. Элемент s (х) из А называется левым симметричным к элементу х из А относительно бинарной операции , если выполняется условие:

s (х) x = e. (14)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 18. Элемент s (x) из А называется правым симметричным к элементу x из А относительно бинарной опера-ции , если выполняется условие:

x s (x) = е.. (15)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 19. Элемент s(x) из А называется симметричным к элементу х из А относительно бинарной операции , если он является левым и правым симметричным к x, то есть выполняются условия:

s(x) x = x s(x). 6)

Если для элемента х из А существует симметричный элемент s(x) относительно бинарной операции , то х называется симметризуемым. Элементы х и s(x) называются взаимно симметричными.

При аддитивной записи бинарной операции , симметричный к элементу х относительно сложения " + " элемент называется противоположным и обозначается через (-х). Элементы х и (- x) называются взаимно противоположными. Для них выполняются условия

(-х) + х= х + (-x)= 0. (16¹)

При мультипликативной записи бинарной операции , симметричный к элементу х относительно умножения “ “ элемент называется обратным и обозначается через х . Элементы х и х называются взаимно обратными. Для них выполняются условия:

. (16 )