Свойства симметричных элементов

1°. Если бинарная операция на А ассоциативная и элемент A -симметризуем, то существует единственный элемент, симметричный к х.

Доказательство. Пусть (x) и (x)- элементы, симметричные к элементу х относительно ассоциативной бинарной операции , то есть

(x) x = x (x) = e, (17)

(x) x = x (x) = e. (18)

Отсюда по определению нейтрального элемента е и ассоциативно-сти бинарной операции , имеем

(x) = (x) е = (x) ( x (x)) = ( (x) x) (x) = е (x) = (x),

то есть

(x) = (x).

ч.т.д.

2°. Если элемент х из А имеет симметричный элемент s(x) относительно ассоциативной бинарной операции , то все левые и все правые симметричные к х элементы совпадают с элементом s (х).

Доказательство. Свойство 2° является непосредственным следствием свойства 1°.

3°. Если элементы х и у из А симметризуемы относительно ассоциативной бинарной операции , то их композиция х у также симметризуема и элемент s(y) s(x) является симметричным к х у.

Доказательство. Пусть s(y) и s(x) элементы, симметричные к: элементам х и у соответственно относительно ассоциативной бинарной операции . Тогда имеем

или ,

то есть элемент s(y) s(x) является левым симметричным к элементу х *у.

Аналогично, элемент s(y) s(x) является правым симметричным к элементу х у:

.

Итак s(y) s(x) является симметричным элементом к элементу х у.

ч.т.д

Свойство 3° кратко может быть записано в виде s(s y)= s(y) s(x).

Пример 43.

Пусть (Z; +) - алгебра типа (2). Целое число 3 из Z является противоположным к целому числу -3, а целое число -5 к целому числу 5. Тогда ( -5)+3= -2 является противоположным целым числом к целому числу ( -3) +5 = 2, так как

(( -5)+ 3)+( З+(-5))=0 и ( 3+(-5)) + ((-5)+ 3) =0.

4°.Элемент х из А, симметризуемый относительно ассоциативной бинарной операции , является регулярным относительно .

Доказательство. Пусть х произвольный симметризуемый элемент из A, a s(x) -симметричный к х элемент. Предположим, что у и z из А - произвольные элементы, для которых выполнены условия:

x y = x z, (19)

y x = z x. (20)

Из равенства (19) имеем s(x) (x y) = s(x) (x z)

(s (x) x) y = (s(x) x) z

e y = e z

y = z

Мы показали, что x y = x z y = z.

Теперь из равенства (20) имеем

(y x) s(x) = (z x) s(x)

y (x s(x))=z (x s(x))

y e = z e

y = z

то есть y x = z x y = z.

Из условий (21), (22) получаем, что х - регулярный элемент относительно бинарной операции на множестве А.

ч.т.д.

Свойство 4° можно сформулировать еще так:

Если элемент х из А симметризуем относительно ассоциативной бинарной операции , то в равенствах (19) и (20) для любых х, у из А, возможно "сокращение" на х то есть из этих равенств следует y = z.

Замечание. В некоторых учебных пособиях симметричный элемент к элементу х из А обозначается через х' или через х*.