Погашение задолженности при долгосрочном кредитовании с использованием сложных процентов

D₁

D₂

D₃

R₁

R₂

K₁ R₃

K₂

n₁ n₂ n₃ K₃ t

K₁=K_o*(1+q)ⁿ₁–R₁

K ₂=K₁*(1+q)ⁿ₂–R₂ (1)

K₃=K₂*(1+q)ⁿ₃–R₃ = 0

[ [K_o*(1+q)ⁿ₁–R₁] * (1+q)ⁿ₂– R₂ ] *(1+q)ⁿ₃–R₃ = 0 (2)

Размеры выплаты R_i зависят от возможностей заёмщика, а сумма этих выплат R₁+R₂+R₃ целесообразно минимизировать, назначая сроки выплат n₁, n₂, n₃. Существуют различные подходы к решению таких задач, которые рассмотрим позднее.

2Анализ финансовых потоков

Многие финансовые, кредитные и коммерческие операции предполагают выплату одной из сторон регулярных периодичных платежей, которые образуют поток. Такие потоки характеризуются рядом параметров, влияющих на доходность операции. В том числе:

1. Сумма платежа (размер инвестиций, взносов, выплат и т. д.)

2. Периодичность поступлений или выплат

3. Способы начисления процентов

4. Срок операции

Главной задачей при этом является расчет конечных финансовых результатов, определение их чувствительности к значениям параметров, разработка условий соглашений, эквивалентное изменение условий контракта.

Рассмотрим методы количественного анализа потоков, платежей: финансовых рент (аннуитетов). Эти методы используют при разработке планов выполнения операции, в том числе оценке бизнеса.

1. Долгосрочное кредитование

2. Сопоставление инвестиционного потока и обратного потока

3. Планирование фондов

4. Оценка эффективности инвестиционных проектов

5. Расчеты лизинга, ипотеки, страховых операций, форфейтных операций (приобретение крупных партий товара и других крупных сделках с использованием векселей и привлечением банковского капитала). Разработка опционов (соглашений о правах приобретения и продаже акций)

6. Планирование страховых взносов и выплат

2.1 Финансовые ренты (аннуитеты)

Поток платежей, члены которого положительны(одного знака), а временные интервалы постоянные

Параметры финансовой ренты:

1. Размер платежа

2. Период ренты – интервал между платежами

3. Срок ренты – время от начала финансовой операции до конца её последнего периода

4. Процентная ставка (наращение или дисконтирование)

5. Число платежей в году

6. Число начислений или капитализаций

7. Моменты начислений внутри периода (постнумерандо – обычная рента – в конце периода, пренумерандо – в начале периода)

Классификация рент

Возможна по разным признакам:

1.Продолжительность периода: годовая или р-срочная (количество выплат в году)

2.По числу капитализаций: 1 раз в год; m раз в год; непрерывная

3.моменты начислений и платежи могут не совпадать

4.постоянные (платежи равны) и переменные

5.верные и условные – платежи проводятся независимо от условий или в зависимости от них (страхование, пенсии)

6.конечные и бесконечные (вечные) – число взносов (выплат) конечно или бесконечно

7.немедленные и отсроченные – срок действия запаздывает на конкретную величину

8.по моменту выплаты – см. п.7 (в аннуитете)

Обычная годовая рента

Для неё поток платежей образует геометрическую прогрессию:

R*(1+q)^n-1

S(1,1)= сумма всех взносов (выплат) за весь срок

S(1,1)= =R*s_nq (1)

s_nq = (2) - коэффициент наращения

Для других рент:

• р-срочная (р– количество выплат в году)

p>1

• p>1 m>1

m– количество капитализаций в год

• если начисление непрерывное, то m

Будем использовать следующие обозначения для сумм, полученных за весь период ренты:

S(1,1) – обычная годовая рента с однократной капитализацией(постнумерандо)

S(1,m) – годовая рента с числом капитализаций m

S(1, ) – годовая рента с непрерывным начислением процентов

S(p,1) – р-срочная рента с однократным начислением

S(p,m) –р-срочная рента с числом капитализаций m

Для разных сочетаний p и m:

p>m>1

p=m=1

m>p>1

Сумма, получаемая к концу срока ренты, будет разной

S(р, ) – р-срочная рента с непрерывным начислением процентов

Наращенные суммы рассчитываются так:

S(1, m) =

f=q – годовая процентная ставка

S(p, 1) =

S(p, m) =

f=q

S(1, ) = R*

 = ln(1+q)

e =2.718281828

S(р, ) = R*

Аналогично рассчитываются современные стоимости рент путем выполнения операции дисконтирования. Используем обозначения:

А(1,1) – современная стоимость обычной годовой ренты

А(1,1) = = R*a_n*q

a_n*q = – дисконтный множитель

A(p, m) =

A(1,m) =

A(1, ) = R*

A(p, ) = R*

Установлено, что между значениями наращенной суммы ренты существует следующая зависимость:

S(1,1) <S(1,m)< S(1, )<S(p,1)< S(p, m)<S(p, m)< S(p, m)< S(р, )

p>1 p>m>1 p=m>1 m>p>1

Для дисконтированных сумм соотношение имеет вид:

A(1, )< A(1,m)<А(1,1)<A(p, )<A(p, m)<A(p, m)<A(p, m)<A(p,1)

m>p>1 p=m>1 p>m>1

Пример

R=4 млн. р.

n= 5 лет

q= 18,5%

А(1,1)=4*(1-1.185^-5)/0.185=12.368 млн. р.

m= 4 p=2

A(p,m)=4*[(1-(1+0.185/4)^-20]/[2*((1+0.185/4)^4/2 -1)]=12.577 млн. р.

m=2 p=4

A(p,m)=4*[(1-(1+0.185/2)^-20]/[4*((1+0.185/2)^2/4-1)]=18,342 млн. р.

Вечная рента

В некоторых случаях требуется обеспечить бесконечное число временных периодов выплаты ренты, то есть n. В этом случае, очевидно, что наращенная сумма  , а современная стоимость (дисконтированная сумма всех платежей) является конечной величиной

=R/q

Такое же соотношение имеет место в случае p=m>1 , то есть:

f=q

Переменные и непрерывные ренты

Рассмотрим:

1. Ренту с абсолютным изменением размера платежа; обычную (р=1)

2. Ренту с абсолютным изменением размера платежа; р-срочную

3. Ренту с относительным приростом платежей – обычную (р=1)

4. Ренту с относительным приростом платежей – обычную (р>1)

Рента с абсолютным изменением размера платежа; обычная (р=1)

Поток номинальных платежей образует арифметическую прогрессию: R, R+b, R+2*b…, R+(n–1)*b.

b– абсолютное увеличение платежа

Современная стоимость такой ренты рассчитывается так:

А(1,1)=(R+b/q)*a_{n,q ­­} – n*b*vⁿ /q (1)

a_n,q = – дисконтный множитель

v =

s_n,q =

a_n,q = s_n,q * vⁿ

Наращенная сумма: S(1,1) = ( R+b/q)*s_n,q – n*b/q (2)

Преобразуем формулу (1), чтобы убедиться в наличии зависимости современной стоимости от абсолютного увеличения суммы платежа:

А=R* a_n,q + (3)

Аналогично для наращенной суммы получим:

S=R* s_n,q + (4)

Рента с абсолютным изменением размера платежа; р-срочная

R, R+b/p, R+2*b/p,…, R+(p*n–1)*b/p

b (рубли/год)

За весь период n получим:

А=

Наращенная сумма: S=

Пример

Ожидается, что сбыт продукции будет увеличиваться в течение двух лет – в каждый квартал по 25 млн. р. Первоначальный объём сбыта за квартал 500 млн. р.

R=500 млн. р.

b=25 млн. р.

n=2

p=4

Вырученные деньги кладутся в банк под проценты

8

S = [500+25(t-1)]*1.2^(2-1)/4=4865 млн. р.

t=1

Если требуется оценить инвестиционный проект, найдем современную стоимость полученной выручки следующим образом:

8

А=[500+25*t]*(1/1.2)^t/4=3974.02 млн. р.

t=1

Определение других параметров финансовой ренты

R, n, q – другие параметры

Определение ежегодной суммы платежа:

R=S/ s_n,q или R=A/ a_n,q

Определение срока постоянной ренты n проводится из условий:

S=R* или А=R*

n= или n=- , если R>A*q

Если неизвестно q, используются методы решения нелинейных уравнений: интерполяционный (метод хорд) или метод Ньютона-Рафсона – метод касательных. Эти методы реализуются в частности во встроенной функции Excel – СТАВКА. Имеется встроенная функция, позволяющая определить количество периодов выплат: КПЕР. Существуют встроенные функции Excel, которые позволяют определить наращенную стоимость (будущую стоимость): БС. Для определения современной стоимости используется функция ПС (приведенная стоимость)

Примеры:

1. S= +S_o

Требуется в диалоговом окне указать в соответствующих полях следующие параметры:

Ставка 4,625% f/m

Число периодов 20 n*m

ПЛТ (размер выплат) -1 -R

ПС и Тип не указываются, так как рента обычная (постнуменрандо) и тип=0 по умолчанию. Если рента пренумерандо, то тип=1.

2. ПС

Расчет проводится по формуле: А=R* a_n,q + БС*(1+q)^-N

БС – единовременный взнос

R – регулярный взнос

a_n,q = N=m*n

3. R=100

m = p = 2

n = 5 лет

f/m = 6%

Единовременной выплаты нет, то есть БС=0

В диалоговом окне ПС указать:

Ставка 6%

КПЕР 10

ПЛТ -50

БС не вводим

Тип 1 (пренумерандо)

Ответ: 390,085

БС – единовременный взнос в конце срока показывается с отрицательным знаком. Если не указывать, то результат, возвращаемый в ячейку – современная стоимость постоянной ренты.

Если БС – сумма задолженности, погашаемой в конце срока, то она показывается со знаком «+».

Переменная рента (продолжение). Ренты с постоянным относительным приростом платежей

Такие ренты образуют геометрическую прогрессию следующего вида:

R, R*r, R*r², R* r^(n-1)

r – знаменатель геометрической прогрессии

r=1+k

k – темп прироста платежей

Современную стоимость такого финансового потока можно определить следующим образом:

А=R*v* (1)

v=

q – процентная ставка в год

А=R* (2)

Для определения наращенной суммы, учитываем её связь с приведенной (современной) стоимостью:

S = A*(1+q)ⁿ = R* (3)

Пример

R = 15 млн. р.

k = 0.12 – прирост 12%

r = 1.12

q = 20%

n = 10 лет

А = 15*[1-1.12/1.2]/[0.2-0.12]=93.4479 млн. р.

S = 15*(1.12¹⁰-1.2¹⁰)/(1.12-1.2)=578.60395 млн. р.

Р-срочная рента с постоянным относительным изменением размера платежа

S=R* (4) – наращенная сумма

А=R* (5)

Пример

R = 15 млн. р.

k = 0.12 – прирост 12%

r = 1.06

q = 20%

n = 10 лет

р = 2

S = 15*(1.06²⁰-1.2¹⁰)/(1.06-1.2^0,5)=1263,052 млн. р.

А = 15*(1.06²⁰*1.2^-10-1)/(1.06-1.2^0,5)=203,99 млн. р.

Постоянная непрерывная рента

Ранее мы считали, что потоки платежей поступают дискретно – через фиксированные интервалы времени. Часто более адекватным следует считать поток непрерывным. Например, при анализе долгосрочных производственных инвестиций при очень частом поступлении платежей (добыча полезных ископаемых, транспортировка нефти и газа).

При определении непрерывной ренты р найдем коэффициент приведения такой ренты при расчете современной стоимости:

ã_nq=

Подставляя р   получим неопределенность, которую раскрываем по правилу Лопиталя:

ã_nq=

ã_nq= (1)

Аналогично найдем множитель приведения для случая наращения:

ŝ_nq= (2) или

ã_nq= ŝ_nq= (3)

Пример

q=20%

δ=ln(1.2)=0.18232155

∆=q/ δ=1.096963

Этот коэффициент δ связывает между собой множители приведения ã_nq и наращения ŝ_nq. Для непрерывной ренты и соответствующей дискретной (постоянной)

Пример

Доходы от эксплуатации месторождения полезных ископаемых 1 млрд. р./год. Продолжительность разработки 10 лет. Отгрузка и реализация непрерывны и равномерны. Капитализированная стоимость дохода при дисконтировании по ставке q=10% составит:

А=1000*(1-1,1^-10)/ln1,1=6446,91 млн. р.

Таким образом, определили оценочную стоимость месторождения на основе доходного подхода.

Формулы (1) и (2) можно представить в следующем виде:

ã_nq= ŝ_nq= (4)

δ=ln(1+q)

Рассмотрим частный случай, позволяющий упростить расчет непрерывной ренты.

Для 1 года (n=1) согласно формуле (2):

ŝ₁= = (5)

Разложим эту формулу в ряд и оставим три первых члена:

ŝ₁≈1+ … (а)

Бином (1+q)^1/2 также разложим в ряд:

(1+q)^1/2 ≈1+ … (b)

Разность между ними составит:

Если q<0,5, то погрешность не превышает 1%.

Таким образом, коэффициенты наращения и приведения можно определить по формулам:

ŝ ₁=

ã_nq= (5)

Равномерная и непрерывная выплата годовой суммы равнозначна выплате этой суммы в середине периода (года)

Определение срока и размера ставки для постоянной непрерывной ренты

Проводится следующим образом:

А=К* ã_nq (7)

n= (8)

Или из условия S = R* ŝ_nq

n= (10)

Пример:

За какой срок наращенная сумма вырастет в 5 раз по сравнению с годовой суммой взносов, если выплата происходит непрерывно равномерно в пределах года. На взносы начисляются проценты с силой роста

δ=8%

0,08=ln(1+q)

1+q=e^0.08=8.329%

n = [ln(5*0.08+1)]/0.08=4.206 года

Для определения ставки соответствующей силы роста используют также численные методы интерполяции, Ньютона-Рафсона, позволяющие получить рекуррентную зависимость следующего вида:

δ_к+1= δ_к – (11)

Пример:

Какова доходность инвестиций, измеренная в виде силы роста, если затрачен 1 млрд. руб., годовая отдача ожидается в размере 200 млн. р./год поступающих равномерно. Срок отдачи n=8 лет

А=100 млн. р.

R=200 млн. р.

A/R=5

Согласно (11), приняв начальное значение силы роста δ₀=0,12, получим

δ₁=0,12 – (1-е^-0,12*8-5*0,15)/(8*е^-0,12*8-5) = 0,1288

Для проверки целесообразности дальнейшего уточнения найдем множитель приведения:

Ã_8;12,88= =4,99329≈5=A/R

Дальнейшего уточнения не требуется.

Непрерывные переменные потоки платежей

Часто, например, при анализе произведенных инвестиций (выход на проектную мощность) поток платежей может существенно меняются со временем, в том числе по какому-либо закону.

Пусть R_t=f(t) – функция времени. Тогда при начислении процентов с использованием силы роста получим:

S= (1) δ=ln(1+q)

Аналогично современная стоимость такой ренты может быть найдена следующим образом:

А= (2)

Линейный случай

Чтобы реально найти значение, надо иметь конкретный вид функции:

R_t=R_o+b*t (3)

Ro – начальный размер платежа

Интегрируем согласно (2), получим:

А = = K_o* ã_nδ + ã_nδ – n*e^-δ*n = (R_o + b/δ)* ã_nδ –

– n*e ^–δ*n (4)

Пример:

В течение трех лет выпуск продукции возрастает на 1 млн. р./год (b). Базовый уровень выпуска R_o=10 млн. р. Определить суммарный объем выпуска, приведенный к текущему периоду с учетом силы роста δ = 8%.

Согласно (4) и используя множители приведения:

ã_3,8=(1-е^-0,08*3)/0,08=2,66715

Получим А=30,51233 млн. р.

Чтобы найти наращенную сумму, используем зависимость:

S=A*v^-n=A*(1+q) ⁿ

q=0.083287

S=30.51233*1.083287³=38.78877 млн. р.

Экспоненциальный рост

R=R_o* e ^k*t , где k – темп прироста платежей (5)

А=R_o* (6)

k–δ=ln( )

q – годовая процентная ставка

k₀ – дискретный темп прироста

Пример:

Прирост доходов составляет k₀=5%/год. Найти современную стоимость и наращенную сумму потока доходов, если

q=7%

Ro=100

n=3 года

Таким образом, k – δ=ln( )=ln(1,05/1,07)=-0,0188685

А=291,6, S= A*(1+q) ⁿ=357.3

Конверсия рент

Как и конверсия платежей имеет место при изменениях условий контракта:

• Замена ренты разовым платежом

• Замена разового платежа рентой (рассрочка платежей)

• Объединение нескольких рент с разными характеристиками в одну (консолидация)

В общем случае конверсия предусматривает замену рент с одними условиями рентой с другими условиями (немедленную – на отложенную, годовую – на ежеквартальную).

Чтобы не было изменения финансовых результатов (последствий) конверсия основана на принципе финансовой эквивалентности.

Конверсия рент применяется при реструктурировании задолженности.

1. Выкуп ренты – замена потока платежей одним. Для этого достаточно найти современную стоимость А этого потока. Ставка q должна устраивать обе стороны. В частности, ставку дисконтирования в практике оценочной деятельности можно определить разными методами

2. Рассрочка платежей – задача, обратная выкупу. Для этого современная стоимость приравнивается сумме долга и определяют параметры ренты R и n

3. Консолидация рент – замена нескольких рент одной, параметры которой можно найти из условия

A= (1)

А – современная стоимость заменяющей ренты

Аj – современные стоимости заменяемых рент

Параметры заменяемых рент могут быть любыми: р-срочная, непрерывная…

Параметры заменяющей ренты определяют по согласию сторон. Один из параметров рассчитывается, остальные - предварительно назначаются: R или n.

1 задача: найти R, если n- задана

R= (2)

2 задача: найти n

n=- (3)

a_nq<1 (4)

<1

Пример:

Требуется три ренты (обычные, годовые, немедленные) заменить одной, отложенной на три года. Срок выплаты 7 лет.

Rj = 100, 120, 300 тыс. р.

n_j = 6, 11, 8 лет

q = 20%

a₁ = (1–1.2^-6)/0.2=3.32551

a₂ = (1–1.2^-11)/0.2=4.32706

a₃ = (1–1.2^-8)/0.2=3.83716

Современная стоимость:

А₁=R₁* a₁=332.551

А₂=R₂* a₂=519.247

А₃=R₃* a₃=1151.148

=2002.946

Для ренты, отложенной на t лет, современная стоимость текущая и существующая через срок t связаны соотношением:

A_t=A*v^-t=A/(1+q) ^-t

Поэтому необходимо найденную сумму современных стоимостей нарастить с учетом отсрочки равной 3 года. Получим размер платежа для ренты, отсроченной на три года равную:

R= =960,1898 тыс. р.

Если бы отсрочки не было, размер платежа был бы меньше:

R=2002.946/ a_7,20 =555.665 тыс. р.

∆R=404.52 тыс. р.

Пусть задана сумма годового платежа. Найдем срок соответствующей заменяющей ренты.

R=1500 тыс. р.

Современная стоимость немедленной ренты составит:

А=2002,95*1,2³=3461,091 тыс. р.

Для неё множитель наращения равен:

a_n,q = A/R = 2,3074

Соответствующий срок составит:

n = - =3.395 года

Округлим n до трех и компенсируем нехватку покрытия долга или излишки его, то есть уточняем R:

a_n,q= =2,10648

R=1643.067

Если n=4, a_n,q= =2,5887

R=1336.98

Видим, что относительно начальной суммы R=1500 отклонения весьма существенны.

Пример:

Используя заданные значения дискретной ренты за три года реализации инвестиционного проекта, получить функции, в которых рента будет считаться непрерывной путем аппроксимации

N кв	R тыс. р.
1	6
2	3
3	3
4	4
5	6
6	9
7	8
8	9
9	7
10	10
11	5
12	8

=78 тыс. р.

y=-0.0584*x²+1.1513* x+2.1818

x^=9.857

y_max=7.856

y₁=2.8+0.71*x

y₂=8.8+0.337*x

Линейная зависимость для всего периода оказалась слишком грубой согласно F-критерию Фишера, поэтому аппроксимируем двумя участками прямой.

Для каждой функции надо обеспечить условие равенства суммы платежей площади под аппроксимирующей кривой (прямой). Для этого надо вычислить соответствующие интегралы и скорректировать коэффициенты аппроксимирующих зависимостей:

=

Далее находим современную стоимость непрерывных рент, соответствующих стадии реализации инвестиционного проекта. Потом – стадию окупаемости (поступления выручки), для которой известны суммы, поступающие в начале и конце каждого периода:

f₂(t)

f₁(t)

V₃

V₁ V2 V V₃

4 года 5 лет

Соответствующие функции получаем, используя уравнение прямой, проходящей через две точки:

Для нахождения соответствующих определенных интегралов, используем соответствующие формулы:

Изменение параметров ренты

Проводятся по принципам финансовой эквивалентности. При этом, например, можно заменить ренту с одними параметрами эквивалентной рентой с другими параметрами.

Замена немедленной ренты на отсроченную.

Если известны n₁ ,n₂ , q и t – время отсрочки, условие эквивалентности имеет вид:

R₁*a_n1q= R₂*a_n2q*v^t

Если n₁=n₂=n, то R₂=R₁*(1+q)^t

Если n1≠n2:

R₂=R₁*

Пример:

Пусть немедленная рента R₁=2 млн. р. , n₁=8 лет откладывается на 2 года без изменения срока самой ренты

q=20%

R₂=2*1,2²=2,88 млн. р.

Если одновременно со сдвигом начала выплат решили срок ренты увеличить до n₂=11 лет, то получим:

R₂=R₁*(a_8,20/a_11,20)*1.2²=2*(3.83716/4.32706)*1.2²=2.55 млн. р.

Определим срок новой ренты при условии постоянства выплаты R, если рента откладывается на t лет. Условие имеет вид:

R*a_n1q= R*a_n2q*v^t

n₂=-

Пусть

R=2 млн. р.

n₁=5 лет

q=8%

t=3 года

n₂=6,689 года

То есть отказ от немедленной выплаты обойдется в 1,7 года увеличения срока ренты. Найдем современную стоимость, округлив срок до 6 лет:

n₂=6

Для того, чтобы уточнить размер дополнительной оплаты, которая потребуется в этом случае:

А₂=R*a_6,8*v³=2000*4.6288* 1.08³=7339.58 тыс. р.

У заменяемой (исходной) ренты современная стоимость составляет:

A₁= R*a_5,8=2000*3,993=7985,42 тыс. р.

Чтобы выполнялось условие финансовой эквивалентности при замене одной ренты другой, необходимо разность ∆А = 645,84 тыс. р. уплатить в начале действия контракта или с учетом наращения в другой более поздний срок.

Замена годовой ренты на р-срочную.

(R₁,n₁)(R₂,n₂,p)

R₂=R₁*

Если n₁=n₂=n, то

R₂=R₁*

То есть срок ренты не влияет на размер платежа по ней.

Пример:

Годовая рента заменяется на квартальную:

R₁=2 млн. р.

R₂=2* =1,86541 млн. р.

Если сроки не совпадают, получим:

n₁=3, n₂=4 года

R₂=2* =1,5179

R*a_nq=

Аналогично из тех же условий исходят при замене регулярного потока платежей нерегулярными и наоборот. В частности, такой поток имеет место в работе №6. В любом случае условием эквивалентности является равенство современных стоимостей рент.