13.3. Максимальная прибыль
Одним из важнейших понятий в экономике
и бизнесе, позволяющем оценить
эффективность деятельности любого
предприятия или фирмы, является прибыль.
Деятельность может быть разной:
производственной, финансовой, торговой,
посреднической и т. д. В наиболее общем
виде прибыль можно определить как
разность между полным доходом
(выручкой) предприятия (фирмы) от
реализации продукции или услуг и полными
издержками (затратами). Если
обозначить прибыль через
,
полный доход –
,
а полные затраты –
,
можно записать
.
(13.5)
Полный доход, получаемый от продажи
количества товара
по цене
за единицу товара, задаётся простой
формулой
.
(13.6)
В последней формуле цена сама является функцией от количества товара . Конкретный вид этой функции даётся кривой спроса, так как цена определяется не тем, сколько хочет получить производитель, а тем, сколько готов заплатить потребитель. Возьмём для кривой спроса линейное приближение, т. е.
,
(13.7)
где
,
,
так как кривая спроса – убывающая
функция. Подставляя
из (13.7) в (13.6), получим функцию полного
дохода
.
(13.8)
Издержками называют выраженные в денежных единицах текущие затраты на производство продукции или её обращение. Последнее включает, например, торговые издержки, издержки транспортировки и др. Кроме полных издержек рассматриваются издержки на единицу продукции. Издержки, не зависящие от объёма выпускаемой продукции, называются постоянными. Они включают арендные платежи, содержание зданий и оборудования, фиксированные оклады руководящему персоналу и т. д. С другой стороны, переменные издержки пропорциональны выпуску продукции и включают стоимость материалов, электроэнергии, зарплату сдельщикам и т. д. Полные издержки, таким образом, можно представить как сумму постоянных и переменных издержек:
,
(13.9)
где
постоянные
издержки;
единичные
переменные издержки;
объём
выпускаемой продукции (количество
товара). Если рассматривать
и
как постоянные параметры, то мы имеем
линейную относительно
функцию полных издержек.
Перейдём теперь к решению задачи
определения максимальной прибыли, т.
е. нахождения такого объёма производства
товара
,
при котором прибыль будет наибольшей.
Для этого достаточно графики функций
(13.8) и
(13.9) поместить в одной и той же системе
координат с учётом экономических
требований
,
(рис. 100):
Рис. 100
Необходимо отметить, что на рис. 100 мы неявно предполагаем, что продан весь произведённый товар. Из этого же рисунка видно, что производство прибыльно, т. е. доход больше издержек, когда количество произведённого товара удовлетворяет условию
.
(13.10)
Наличие точки
очевидно. Если производится мало товара,
производство становится убыточным.
Точка же
нетривиальна, так как на первый взгляд
кажется, что «чем больше, тем лучше».
Однако рост производства выше некоторого
уровня может вести к «опережающему»
росту затрат, после чего производство
становится убыточным.
Для нахождения точек , и точки , в которой достигается наибольшая прибыль, выразим прибыль , полный доход и полные издержки через количество товара :
,
(13.11)
где обозначено
.
Поскольку параметр квадратичной функции
,
то ветви параболы (13.11) направлены вниз,
и функция имеет максимум, который
достигается в точке
.
(13.12)
Точки
и
,
определяющие границы прибыльности
производства, выражаются через параметры
кривой спроса и параметры
,
полных издержек по известной формуле
корней квадратного трёхчлена, стоящего
в правой части (13.11):
.
(13.13)
Чем точнее определяются указанные параметры, тем точнее полученное решение.