13.7. Экономический смысл частных производных

В п. 13.4 уже рассматривалась производственная функция, т. е. уравнение, связывающее ресурсы (факторы производства) и выпуск продукции объёма . В рыночной экономике к ресурсам относятся: земля, капитал (основные фонды), труд и предпринимательская способность, т. е. способность объединить все виды ресурсов в едином процессе производства товаров и услуг.

Ограничимся для простоты двумя ресурсами: капиталом и трудом . Тогда производственная функция может быть записана так:

. (13.35)

Предельным продуктом фактора производства называется добавочный продукт, полученный в результате добавления одной единицы данного фактора (ресурса) при неизменной величине остальных факторов производства, т. е. частная производная производственной функции по соответствующей переменной (ресурсу).

Таким образом, предельный продукт капитала (или предельная фондоотдача) – это

. (13.36)

Если капитал изменяется на величину , а приложенный труд остаётся неизменным, то

. (13.37)

Аналогично определяется предельный продукт труда (или предельная производительность труда):

. (13.38)

Для малых изменений труда при постоянном капитале также имеет место приближённое равенство , в частности, при имеем .

Если капитал и труд изменяются одновременно, приращение выпуска продукции может быть приближённо найдено по формуле

. (13.39)

Линия на плоскости , в каждой точке которой различные сочетания факторов производства и дают одно и то же количество выпускаемой продукции, называется кривой безразличия производства или изоквантой. Другими словами, изокванта состоит из таких пар точек , в которых значения производственной функции одинаковы (линия одинакового объёма продукции). Математически изокванта определяется уравнением

, (13.40)

где некоторая постоянная величина выпуска продукции. Характерные графики изоквант приведены на рис. 103.

Величина углового коэффициента

касательной к изокванте, взятая с обратным

знаком, определяет коэффициент заменяе-

мости ресурсов

.

Рис. 103 Поскольку угол наклона касательной

к изокванте тупой, то угловой коэффициент касательной отрицателен, а коэффициент заменяемости ресурсов при таком определении положителен. Вычисляя его по правилу дифференцирования неявной функции, заданной уравнением (13.40), и используя (13.36) и (13.38), получим:

. (13.41)

Таким образом, коэффициент заменяемости ресурсов равен предельному продукту труда, делённому на предельный продукт капитала.

В качестве примера найдём коэффициент заменяемости для модели производственной функции Кобба – Дугласа, которая применялась при анализе развития экономики США в 20-30-х годах прошлого века. Производственная функция в этой модели имеет простую алгебраическую форму:

, (13.42)

где положительные постоянные и .

Дифференцируя по , легко находим предельный продукт капитала

. (13.43)

Аналогично вычисляем предельный продукт труда

. (13.44)

Подставляя в формулу для коэффициента заменяемости ресурсов полученные выражения, окончательно находим

. (13.45)

Отсюда видно, что коэффициент заменяемости ресурсов не является постоянной величиной, а сам зависит от капитала и приложенного труда, а также от постоянных и . Выясним экономический смысл параметров и .

Найдём эластичность выпуска продукции по труду . Используя определение частной эластичности функции (13.31), получим

. (13.46)

Итак, параметр имеет ясный экономический смысл – это эластичность выпуска продукции по труду.

Аналогичный смысл имеет и параметр это эластичность выпуска продукции по капиталу (фондам).