13.5. Эластичность экономических функций
Одна из важнейших задач любого бизнеса
– установление связи между изменением
цены на реализуемую продукцию и доходом.
Наивная уверенность, что доход тем
больше, чем выше цена, при рыночной
экономике рано или поздно приводит к
банкротству. Действительно, суммарный
доход выражается формулой
,
где
цена
единицы продукции, а
её
количество. Если фирма повышает цену
на единицу продукции, это уменьшает
объём продаж (вспомним, что кривая спроса
– убывающая функция). Интуитивно ясно,
что здесь важны не абсолютные изменения
цены и количества продукции, а
относительные. Для решения подобных
задач используется понятие эластичности
функции.
Рассмотрим функцию
.
Пусть
приращение
аргумента в точке
,
а
соответствующее
приращение функции. Тогда
относительное
изменение аргумента,
относительное
изменение функции. Величина, равная
отношению относительного изменения
функции к относительному изменению
аргумента
,
(13.25)
называется средней эластичностью
функции
по аргументу
на отрезке
.
О п р е д е л е н и е. Эластичностью
функции
называется предел её средней эластичности
при
,
обозначаемый символом
:
.
(13.26)
Эластичность функции показывает
приближённо, на сколько процентов
изменится функция
при изменении независимой переменной
на 1%. Например, эластичность спроса (или
объёма потребления)
относительно цены
(или дохода
)
это есть коэффициент, определяемый по
формуле (13.26) и показывающий приближённо,
на сколько процентов изменится спрос
(объём потребления) при изменении цены
(дохода) на 1%. Следовательно, если
эластичность спроса от цены равна (
),
это означает, что при повышении данной
цены на 1% спрос уменьшится на 2%, а при
понижении данной цены на 1% спрос
увеличится на 2%.
Если эластичность спроса от цены
,
то спрос считают эластичным, если
же
неэластичным.
Если
,
то говорят о спросе с единичной
эластичностью. Отметим, что эластичности
взаимнообратных функций – взаимно
обратные величины:
.
(13.27)
Установим теперь наиболее важное соотношение между предельным доходом и эластичностью спроса от цены. В начале п. 13.4, когда определялся предельный доход, предполагалось, что кривая спроса – линейная функция. Теперь же мы будем считать кривую спроса произвольной убывающей функцией:
.
(13.28)
Тогда предельный доход будет:
.
Учитывая, что в соответствии с формулой
(13.27) эластичность спроса
от цены обратна
эластичности
цены от спроса, т.
е.
,
а также, то что
(производная убывающей функции в формуле
(13.26) отрицательна), получим при произвольной
кривой спроса
.
(13.29)
Если спрос неэластичен, т. е.
,
то очевидно, что
,
т. е. предельный доход отрицателен при любой цене. Это в свою очередь означает, что суммарный доход – это убывающая в той области функция, где спрос неэластичен.
Аналогично, если спрос эластичен,
т. е.
,
то
,
и из формулы (13.29) непосредственно видно, что предельный доход положителен независимо от цены. Отсюда можно сделать вывод, что для товаров эластичного спроса суммарный доход – это возрастающая функция.
Таким образом, с возрастанием цены для продукции эластичного спроса суммарный доход от реализации продукции увеличивается, а для товаров неэластичного спроса – уменьшается.