13.9. Балансовые модели

Математические понятия: векторы, матрицы, определители, системы линейных алгебраических уравнений находят многочисленные приложения в экономике. Рассмотрим одно из таких приложений, имеющее важнейшее значение в экономической теории и практике.

Пусть имеется экономическая система, состоящая из отраслей, каждая из которых производит только один вид продукта (товара), а каждый вид продукта производится единственной отраслью. Любой продукт частично используется для производства во всех отраслях, а частично идёт на внешнее потребление.

Пусть затраты i-го продукта на производство j-го продукта , количество продукта, производимого j-й отраслью , количество этого продукта, идущее на внешнее потребление .

Введём три матрицы:

, , . (13.52)

Матрицу называют матрицей прямых затрат. Матрицы – столбцы называют соответственно: вектором выпуска (планом) и вектором конечного спроса (ассортиментным набором). Вектор называют также вектором валового выпуска (продукции), а вектор вектором товарного выпуска (продукции).

Обычно предполагается, что имеет место линейная зависимость затрат от выпуска, т. е. количество i-го продукта, затрачиваемое на производство единиц j-го, а общее количество i-го продукта, затрачиваемое на производство во всех отраслях. Тогда для каждой i-й отрасли получаем уравнение

, , (13.53)

а для всей экономической системы имеем систему уравнений, которая в матричной форме имеет вид

, (13.54)

где единичная матрица n-го порядка.

Модель, описываемая этим уравнением, называется линейной балансовой моделью (модель Леонтьева), или моделью «затраты – выпуск».

Если нулевая матрица, т. е. для всех i, то вся продукция расходуется внутри экономической системы, а модель называется закрытой. В противном случае (если хотя бы для одного i) модель называется открытой.

Для закрытой модели имеем . Если существует вектор , являющийся решением этого уравнения, то закрытая модель называется продуктивной. Такой вектор по определению является собственным вектором матрицы , соответствующим её собственному числу . Таким образом, для продуктивности закрытой модели необходимо, чтобы матрица прямых затрат имела собственное число .

Предположим, что все элементы положительны, . Можно доказать, что если наибольшее собственное число матрицы равно 1, то существует единственный (с точностью до постоянного множителя) собственный вектор валового выпуска со строго положительными компонентами .

Рассмотрим теперь открытую балансовую модель

, (13.55)

продуктивность которой по определению означает, что существуют неотрицательные векторы и , удовлетворяющие уравнению (13.55). Одна из основных задач планирования состоит в определении вектора валового выпуска по заданному вектору конечного спроса .

Если матрица имеет обратную , то существует единственное решение

(13.56)

балансового уравнения (13.55). При произвольной матрице нельзя гарантировать неотрицательности , но если матрица неотрицательна, то, очевидно, в силу неотрицательности будет неотрицательным и . Можно доказать, что если наибольшее по абсолютной величине собственное число матрицы меньше 1, то матрица неотрицательна и, следовательно, для любого вектора конечного спроса существует единственный вектор .

Обозначим :

. (13.57)

Решение балансового уравнения (13.56) в развёрнутом виде будет следующим:

(13.58)

Выясним экономический смысл элементов матрицы . Пусть на внешнее потребление выпускается только одна единица продукта k-й отрасли, т. е. вектор имеет вид:

или , при . (13.59)

Тогда

. (13.60)

По определению равенства векторов имеем:

.

Значит это затраты i-й отрасли на производство единицы товарного продукта k-й отрасли, т. е. продукта, идущего на внешнее потребление. Таким образом, в отличие от матрицы прямых затрат , характеризующей затраты на выпуск валового продукта, матрица характеризует затраты на выпуск товарного продукта. Поэтому матрицу называют матрицей полных затрат. Доказывается, что в продуктивной модели с положительной матрицей полные затраты всегда больше прямых, т. е. для всех .

З а м е ч а н и е. Если сумма элементов каждой строки матрицы не больше единицы и хотя бы для одной строки строго меньше единицы, то модель Леонтьева межотраслевого баланса продуктивна. Самая трудоёмкая часть задачи планирования баланса – это вычисление обратной матрицы , так как её порядок в реальных задачах может достигать нескольких сотен.