Задача 4.1.

Какие из приведенных ниже функций являются нелинейными по оцениваемым параметрам, а какие – нелинейными по включенным переменным:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Параметры каких моделей можно оценить методом наименьших квадратов? Ответ обоснуйте.

Задача 4.2.

Производственная функция Кобба-Дугласа характеризуется следующим уравнением:

Y = 0,69 K^0,74 L^0,35 ε

Задание:

1. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

2. Чему равен коэффициент эластичности объема производства по затратам капитала?

3. Можно ли утверждать, что при увеличении затрат капитала и труда в 1,5 раза объем производства возрастет менее, чем в 1,5 раза?

Задача 4.3.

В ходе исследования было получено следующее уравнение зависимости расходов на питание от величины располагаемого личного дохода и индекса относительных цен:

lgY = 2,82 + 0,64 lgX - 0,48 lgp+ ε R² = 0,99

(0,42) (0,03) (0,12) F = 820,1

Задание:

1. По имеющимся данным оцените адекватность полученной модели.

2. Запишите уравнение в степенной форме.

3. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

Задача 4.4.

Модель макроэкономической производственной функции описывается следующим уравнением:

lnY = -3,52 + 1,53lnK + 0,47lnL + ε , R² = 0,875.

(2,43) (0,55) (0,09) F = 237,4

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии.

Задание:

1. Оцените значимость коэффициентов модели по t-критерию Стьюдента и сделайте вывод о целесообразности включения факторов в модель.

2. Запишите уравнение в степенной форме и дайте интерпретацию параметров.

3. Можно ли сказать, что прирост ВНП в большей степени связан с приростом затрат капитала, нежели с приростом затрат труда?

Задача 4.5.

Производственная функция Кобба-Дугласа характеризуется следующим уравнением:

R² = 0,96.

(0,43) (0,06) (0,15) F = 236,1

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии.

Задание:

1. Оцените значимость коэффициентов модели по t-критерию Стьюдента и сделайте вывод о целесообразности включения факторов в модель.

2. Запишите уравнение в степенной форме и дайте интерпретацию параметров.

3. Что можно сказать об эффекте от масштаба производства?

Задача 4.6.

По данным индекса реального объема производства (Y), реальных капитальных затрат (К) и реальных затрат труда (L), представленным в приложении 3, оцените параметры производственной функции Кобба-Дугласа.

Задание:

1. Проверьте адекватность полученной модели.

2. Запишите полученное уравнение регрессии в степенной форме.

3. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

4. Что можно сказать об эффекте от масштаба производства?

Тема 5. Модели стационарных и нестационарных временных рядов.

Временным рядом (динамическим рядом) называется набор значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда.

В общем виде при исследовании экономических процессов временного ряда выделяются несколько составляющих:

y_t = u_t + v_t + c_t + ε_t (t=1, 2, …, n),

где u_t – тренд, v_t – сезонная компонента, c_t – циклическая компонента, ε_t – случайная компонента.

Стационарные временные ряды.

Важное значение в анализе временных рядов имеют стационарные временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Временной ряд y_t (t=1, 2, …, n) называется строго стационарным, если совместное распределение вероятностей n наблюдений y₁, y₂,…, y_n такое же, как и n наблюдений y_1+τ, y_2+τ,…, y_n+τ при любых n, t, и τ. Таким образом, свойства строго стационарных рядов не зависят от момента времени t.

Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временного ряда y₁, y₂, …, y_n и y_1+τ, y_2+τ, …, y_n+τ можно оценить с помощью выборочного коэффициента корреляции r(τ):

.

Так как он оценивает корреляцию между уровнями одного и того же ряда, его называют коэффициентом автокорреляции.

Функция r(τ) называется выборочной автокорреляционной функцией, а ее график - коррелограммой.

Кроме автокорреляционной функции при исследовании стационарных временных рядов рассматривают частную автокорреляционную функцию. Статистической оценкой частного коэффициента корреляции является выборочный частный коэффициент корреляции (или просто частный коэффициент корреляции):

,

где r_ij, r_ik r_jk – выборочные коэффициенты корреляции.

Так, выборочный частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка между членами временного ряда y_t и y_t+2 при устранении влияния y_t+1 определяется по формуле:

,

где r(1), r(1,2), r(2) – выборочные коэффициенты автокорреляции между y_t и y_t+1, y_t+1 и y_t+2, и y_t и y_t+2 соответственно.

Наиболее распространенным приемом устранения автокорреляции во временных рядах является подбор соответствующей модели: авторегрессионной АР(p), скользящей средней СС(q) или авторегрегрессионной модели скользящей средней АРСС(p,q) для остатков модели (в литературе можно встретить англоязычные названия моделей: авторегрессионной – АR(p), скользящей средней – MA(q) и авторегрегрессионной модели скользящей средней АRMA(p,q).)

Идентификацией временного ряда называется построение для ряда остатков адекватной АРСС-модели, в которой остатки представляют собой белый шум, а все регрессоры значимы. Такое представление, как правило, не единственное, и один и тот же ряд может быть идентифицирован и с помощью АР-модели, и с помощью СС-модели.

Авторегрессионная модель порядка p (модель АР(p)) имеет вид:

y_t = β₀ + β₁ y_t-1+ β₂ y_t-2+…+ β_p y_t-p+ε_t, (t=1, 2, …, n),

где β₀, β₁,… β_p – некоторые константы.

Если исследуемый процесс y_t в момент t определяется его значениями только в преды-дущий период t-1, то получаем авторегрессионную модель 1-го порядка (или модель АР(1)).

y_t = β₀ + β₁ y_t-1 +ε_t, (t=1, 2, …, n),

Наряду с авторегрессионными моделями временных рядов в эконометрике рассматриваются также модели скользящей средней. В них моделируемая величина задается линейной функцией от возмущений (остатков) в предыдущие моменты времени. Модель скользящей средней порядка q (модель СС(q)) имеет вид:

y_t = ε_t – γ₁ε_t-1 – γ₂ε_t-2 –…– γ_qε_t-q (t=1, 2, …, n).

Нередко используются и комбинированные модели временных рядов АР и СС, которые имеют вид:

y_t = β₀ + β₁ y_t-1+ β₂ y_t-2+…+ β_p y_t-p+ ε_t – γ₁ε_t-1 – γ₂ε_t-2 –…– γ_qε_t-q.

Если все значения выборочной частной автокорреляционной функции порядка выше p незначимо отличаются от нуля, временной ряд следует идентифицировать с помощью модели, порядок авторегрессии которой не выше p.

Если все значения выборочной автокорреляционной функции порядка выше q незначимо отличаются от нуля, временной ряд следует идентифицировать с помощью модели скользящей средней, порядок которой не выше q.

Нестационарные временные ряды.

Пусть имеется временной ряд

y_t = ρy_t-1+ ξ_t.

Предположим, что ошибки ξ_t независимы и одинаково распределены, т.е. образуют белый шум. Перейдем к разностным величинам:

Δy_t = λy_t-1+ ξ_t,

где Δy_t = y_t – y_t-1, λ= ρ-1.

Если ряд Δy_t является стационарным, то исходный нестационарный ряд y_t называется интегрируемым (или однородным).

Нестационарный ряд y_t называется интегрируемым (однородным) k-го порядка, если после k-кратного перехода к приращениям

d^ky_t = d^k-1y_t – d^k-1y_t-1,

где d¹y_t = Δy_t, получается стационарный ряд d^ky_t.

Если при этом стационарный ряд d^ky_t корректно идентифицируется как АРСС(p,q), то нестационарный ряд y_t обозначается как АРПСС(p,k,q). Это означает модель авторегрессии – проинтегрированной скользящей средней (другое обозначение - ARIMA(p,k,q)) порядков p, k, q, которая известна как модель Бокса-Дженкинса. Процедура подбора такой модели реализована во многих эконометрических пакетах.

Модели с распределенными лагами.

При исследовании экономических процессов приходится моделировать ситуации, когда значение результативного признака в текущий момент времени t формируется под воздействием ряда факторов, действовавших в прошлые моменты времени. Величину l, характеризующую запаздывание в воздействии фактора на результат, называют лагом, а временные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один или более моментов времени, - лаговыми переменными. Модели, содержащие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных, называют моделями с распределенными лагами:

В случае конечной величины максимального лага модель имеет вид:

y_t = a + b₀x_t + b₁x_t-1 + … + b_lx_t-l +ε_t.

Коэффициент b₀ характеризует среднее абсолютное изменение y_t при изменении x_t на 1 ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора x. Этот коэффициент называется краткосрочным мультипликатором.

Долгосрочный мультипликатор вычисляется по формуле:

b = b₀ + b₁ + … + b_l.

Он показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде t+l результата y под влиянием изменения на 1 ед. фактора x.

Величины β_j=b_j/b (j = 0,…,l) называются относительными коэффициентами модели с распределенным лагом.

Средний лаг определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t. Небольшая величина среднего лага свидетельствует об относительно быстром реагировании результата на изменение фактора. Высокое его значение говорит о том, что воздействие фактора на результат будет сказываться в течение длительного периода времени.

Медианный лаг (l_Me) – представляет собой период времени, в течение которого буде реализована половина общего воздействия фактора на результат и определяется следующим соотношением:

.

Оценка параметров модели с распределенными лагами зависит от того, конечное или бесконечное число лагов она содержит.

Метод Алмон.

Предполагается, что веса текущих и лаговых значений объясняющих переменных подчиняются полиномиальному закону распределения:

b_j = c₀ + c₁·j + c₂·j² + … + c_k·j^k. (5.1)

Уравнение регрессии примет вид:

y_t = a + c₀·z₀ + c₁·z₁ + c₂·z₂ + … + c_k·z_k + ε_t, (5.2)

где , i = 1,…,k; j=0,…,l. (5.3)

Схема расчета параметров модели:

1. устанавливается максимальная величина лага l;

2. определяется степень полинома k, описывающего структуру лага;

3. по соотношениям (5.3) рассчитываются значения переменных z₀, z₁,…, z_k;

4. обычным методом наименьших квадратов определяются параметры уравнения линейной регрессии y_t от z_i (5.2);

5. рассчитываются параметры исходной модели по формулам (5.1).

Метод Койка.

Предполагается, что коэффициенты при лаговых значениях переменной убывают в геометрической прогрессии:

, j = 1, 2, … 0 < λ < 1. (5.4)

Уравнение регрессии преобразуется к виду:

y_t = a + b₀x_t + b₀·λ x_t-1 + b₀·λ² x_t-2 +… +ε_t.

После ряда преобразований получается уравнение авторегрессии первого порядка:

y_t = a·(1 – λ) + b₀·x_t + (1 – λ) y_t-1 + u_t,

где u_t = ε_t – λ ε_t-1.

Определив параметры данной модели, находятся λ и оценки параметров a и b₀ исходной модели. Далее из соотношения (5.4) определяются параметры модели b₁, b₂,… .

Величина среднего лага в модели Койка определяется формулой:

.

Задача 5.1.

Покажите, что для процесса АР(1) значения выборочной частной автокорреляционной функции r_част(τ)=0 для τ ≥2.

Покажите, что для процесса СС(1) значения выборочной автокорреляционной функции r(τ)=0 для τ ≥2.

Задача 5.2.

Временной ряд описывается следующей моделью:

y_t = 0,5y_t-1 + ε_t,

где ε_t - белый шум.

Задание:

1. Как называется полученная модель?

2. Является ли исходный временной ряд стационарным?

3. Рассчитайте значения автокорреляционной функции для лагов τ = 1, 2, 3.

4. Нарисуйте автокорреляционную и частную автокорреляционную функции временного ряда y_t.

Задача 5.3.

Временной ряд описывается следующей моделью:

y_t = -0,8y_t-1 + ε_t,

где ε_t - белый шум.

Задание:

1. Как называется полученная модель?

2. Является ли исходный временной ряд стационарным?

3. Рассчитайте значения автокорреляционной функции для лагов τ = 1, 2, 3.

4. Нарисуйте автокорреляционную и частную автокорреляционную функции временного ряда y_t.

Задача 5.4.

График автокорреляционной функции авторегрессионного процесса 1-го порядка АР(1) имеет следующий вид:

Задание:

Укажите, на каком из приведенных ниже рисунков изображен график частной автокорреляционной функции данного процесса АР(1). Ответ обоснуйте.

Задача 5.5.

1. Уравнение y_t = ε_t – 0,5ε_t-1 – 0,20ε_t-2 описывает модель:

а) АР(2); б) СС(2); в) АРСС(0,2); г) АРСС(2,0);

2. Уравнение y_t = – 0,4y_t-1 + ε_t – 0,5ε_t-1, описывает модель:

а) АР(1); б) СС(1); в) АРСС(1,1); г) АРСС(1,2);

3. Уравнение y_t = – 0,2y_t-2 + 0,4y_t-1 + ε_t – 0,1ε_t-1, описывает модель:

а) АР(2); б) СС(1); в) АРСС(1,2); г) АРПСС(2,0,1);

4. Уравнение y_t = – 0,3y_t-2 + 0,7y_t-1 + ε_t, описывает модель:

а) СС(2); б) АРСС(1,2); в) АРСС(2,1); г) АРПСС(2,0,1);

где ε_t - белый шум.

В каждом задании может быть несколько правильных ответов.

Задача 5.6.

Ниже представлены графики автокорреляционной и частной автокорреляционной функций процесса.

Задание:

По представленным графикам сделайте предположение, какой моделью идентифицируется исследуемый временной ряд. Ответ обоснуйте.

Задача 5.7.

Для устранения нестационарности исследуемого временного ряда был рассмотрен ряд первых разностей. Ниже представлены графики автокорреляционной и частной автокорреляционной функций ряда первых разностей.

Задание:

По представленным графикам сделайте предположение, какой моделью идентифицируется исследуемый временной ряд. Ответ обоснуйте.

Задача 5.8.

В приложении 4 представлены данные о курсе акций различных компаний.

Задание:

1. Идентифицируйте приведенные временные ряды.

2. Оцените параметры моделей АРПСС.

Задача 5.9.

Подберите соответствующие сезонные модели АРПСС для временных рядов, представленных в приложении 5.

Задача 5.10.

По ежемесячным данным изучается зависимость объема ВВП (Y, млрд. долл.) от уровня прибыли в экономике (Х_t, млрд. долл.). Получена следующая модель с распределенными лагами:

Y_t = -5 + 1,5∙X_t + 2∙X_t-1 + 4∙X_t-2 + 2,5∙X_t-3 + 2∙X_t-4 + ε_t.

(2,2) (2,3) (2,5) (2,3) (2,4)

В скобках указаны значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов регрессии. R² = 0,9.

Задание:

1. Проанализируйте полученные результаты регрессионного анализа.

2. Дайте интерпретацию параметров модели: определите краткосрочный и долгосрочный мультипликаторы.

3. Определите величину среднего лага и медианного лага.