1.2. Таблица основных интегралов. Правила интегрирования
Составим таблицу основных интегралов. Доказательство всех формул осуществляем дифференцированием их правых частей.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
1.3. Непосредственное интегрирование
Вычисление интегралов с помощью таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенного интеграла, с применением тождественных преобразований подынтегральной функции, называется непосредственным интегрированием.
Примеры. Найти интегралы.
1.4.
.
1.5.
.
1.6.
.
1.7.
.
1.8.
.
1.9.
.
Для
проверки найденных интегралов нужно
найти производные от полученных
первообразных и доказать, что
.
Лекция 2. Неопределенный интеграл
2.1. Замена переменной в неопределенном интеграле
Если неопределенный интеграл не является табличным, то во многих случаях к цели приведет метод интегрирования с помощью замены переменной, который является основным методом вычисления интегралов.
Метод подстановки, или замены переменной, играет одну из основных ролей в интегральном исчислении.
Пусть
нужно найти интеграл
,
где подынтегральная функция непрерывна.
Сделаем
замену переменной, обозначим
,
тогда:
, где
.
Допустим,
что первообразная функции
известна, то есть:
тогда:
.
Примеры. Найти интегралы:
2.1.
Решение.
Сделаем
замену
,
тогда
,
а
.
Перепишем интеграл:
2.2.
.
Решение.
Взяв
,
,
получим:
.
Рассмотрим
замену переменной в некоторых интегралах
вида
,
которые непосредственно вычислить
нельзя.
Пусть
переменная интегрирования
,
причем
– непрерывная функция, которая имеет
непрерывную производную, а также обратную
функцию
.
Тогда
,
и интеграл после
подстановки новой переменной
будет иметь вид:
.
Пример
3. Найти
.
Решение.
Сделаем
замену
,
то есть
,
откуда
.
Имеем:
.
Теперь
возвращаемся к переменной
,
.
Следовательно,
.
Пример
4. Найти
.
Решение.
Сделаем
замену
,
тогда
.
Имеем:
Итак,
.
Возвращаемся
к переменной
:
,
.
Таким
образом,
.
Пример
5. Найти
Решение.
Если
,
то
и
Следовательно, имеем:
Использована
формула
.
Так
как
,
,
то:
2.2. Интегрирование по частям
Пусть
,
– дифференцируемые
функции аргумента
.
Тогда
,
откуда
.
Интегрируя
это равенство, получим:
.
Это
и является формулой
интегрирования по частям,
она используется тогда, когда
не более сложный, чем
.
Формула
используется для нахождения интеграла
,
если
имеет вид:
1.
;
;
;
.
2.
;
;
;
;
,
где
– многочлен.
Интегралы такого типа являются стандартными и вычисляются только по формуле интегрирования по частям.
При
этом в интегралах первого вида за
берем многочлен
,
а в интегралах второго вида
трансцендентную функцию.
Примеры. Найти интегралы:
6.
.
Решение.
Положим
,
а
.
Тогда
,
.
Теперь, используя формулу (18.10), получаем:
.
7.
.
Решение.
Пусть
.
Тогда
.
Получим
.
Применяя
к интегралу
формулу (18.10), вычисляем данный интеграл:
.
8.
.
Решение.
Обозначим
.
Следовательно, применив формулу (18.10), получим:
.
Пусть
,
тогда
.
Следовательно,
.
9.
.
Решение.
Пусть
,
а
,
тогда
,
чтобы найти
нужно сначала сделать такую замену
,
тогда
,
а
,
значит
.
Теперь по формуле интегрирования по частям получим:
.
Рассмотрим
еще один тип интегралов, которые берутся
лишь по частям. Это интегралы вида
,
,
,
,
,
в которых после двукратного применения
формулы интегрирования по частям
получается исходный интеграл.
В этом случае мы приходим к линейному уравнению относительно искомого интеграла.
Примеры. Найти интегралы.
10.
.
Решение.
В
интеграле:
.
Следовательно
.
еще
раз берем по частям.
Получим:
,
обозначив
.
Таким образом:
,
или
,
окончательно:
.
11.
.
Решение.
Пусть
,
.
Тогда,
,
.
По формуле интегрирования по частям имеем:
В
числителе последнего интеграла прибавим
и отнимем
,
то есть:
Решим уравнение относительно исходного интеграла, то есть:
.
Следовательно,
.