Лекция 4. Неопределенный интеграл
4.1. Интегрирование иррациональных выражений
***
Рассмотрим интеграл:
,
где
– непрерывная функция, а
– дробные показатели степеней.
Этот
интеграл можно вычислить, используя
подстановку:
где
– наименьшее общее кратное знаменателей
дробей
.
С помощью этой подстановки каждый
дробный показатель степени
превратится в целое число и таким образом
под интегралом будет
– рациональная функция, то есть:
,
где
– рациональная функция нового аргумента
.
***
Интегралы типа
приводятся к интегралам от рациональных
функций с помощью подстановки:
,
,
.
*** Интегралы типа:
а)
б)
в)
где
– иррациональная функция от аргумента
,
приводятся к интегралам от рациональных
тригонометрических функций с помощью
тригонометрических подстановок:
а)
или
б)
или
в)
или
.
Пример
1. Найти
.
Решение.
Под интегралом имеем степени аргумента – 1/2 и 1/4, наименьший общий знаменатель которых 4.
Тогда
возьмем
и получим:
Пример
2. Найти
Решение.
Пусть
,
тогда
откуда
.
Тогда
.
Следовательно,
.
Пример
3. Найти
.
Решение.
Пусть
,
откуда
.
Тогда:
Сделаем
подстановку
,
тогда
.
Подставим в данный интеграл.
Имеем:
.
Перейдем
к переменной
.
Учитывая, что
и
,
имеем:
4.2. Интегрирование выражений, которые содержат тригонометрические функции
Основные случаи интегрирования тригонометрических выражений
1. Интегралы, которые с помощью известных тригонометрических соотношений можно привести к табличным:
Пример
4. Найти
.
Решение.
2.
Интегралы вида
.
Здесь можно выделить следующие случаи:
а)
хотя бы один из показателей степеней
или
– нечетное
число,
а другой – любое. Например,
– нечетное
число,
а
– любое, замена
дает возможность
вычислить интеграл. Если наоборот,
– нечетное,
а
– любое, то
интеграл
берется
с помощью замены
;
б)
оба
показателя
и
– четные неотрицательные
числа.
Например,
и
– четные числа,
интеграл
можно взять
постепенно понижая
степени
тригонометрических
функций,
для чего
используют формулы:
,
;
в)
сумма показателей
и
равна четному
отрицательному числу,
то есть
.
Интеграл вычисляется с помощью
подстановки:
,
,
или
,
,
.
Пример
5. Найти
.
Решение.
Пусть
,
,
тогда
Пример
6. Найти
.
Решение.
Так
как
,
то
.
В
свою очередь,
.
Подставляя эти выражения под знак интеграла, получим:
Пример
7. Найти
.
Решение.
Сделаем подстановку:
,
,
Тогда:
3.
В интегралах вида
и
используются подстановки
и
.
4.
Интеграл
,
где подынтегральная функция
является рациональной или дробно-рациональной
функцией от
и
,
приводится к интегралу от рациональных
функций с помощью подстановки 
которая
называется
универсальной
тригонометрической подстановкой.
Используя тригонометрические формулы, получим:
.
То есть:
.
Тогда
,
где
– рациональная или дробно-рациональная
функция.
Пример
8. Найти
.
Решение.
Пусть
.
Тогда получим:
