Вычисление площадей геометрических фигур

Рассмотрим несколько случаев вычисления площадей геометрических фигур:

1. Известно, что определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции на численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной функцией :

. (4)

2. Если функция на отрезке неположительная, то есть , то и определенный интеграл от нее также будет числом неположительным, потому что он является пределом интегральных сумм, а значит сохраняет знак подынтегральной функции, тогда для площадь криволинейной трапеции будет:

. (5)

3. Если функция на промежутке изменяет знак, проходя через точку , то для нахождения площади промежуток нужно разбить на два промежутка и и применить формулы (4) и (5).

Если функция несколько раз изменяет знак на , то площадь фигуры можно вычислить по формуле:

. (6)

4. Более сложные задачи на вычисление площадей решают, используя свойство аддитивности площадей, то есть фигуру можно разделить на непересекающиеся части и вычислить площадь всей фигуры как сумму площадей этих частей.

5. Если нужно вычислить площадь фигуры, ограниченную кривыми , , заданными на отрезке , причем , то эта площадь вычисляется по формуле:

. (7)

6. Если плоская фигура ограничена графиком непрерывной на промежутке функции прямыми и осью ординат, то площадь находится по формуле:

. (8)

П ример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , прямой и осью (рис. 2).

Решение.

.

Рис. 2

П ример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ; , ; .

Решение.

Данную фигуру можно рассматривать как две криволинейных трапеции, ограниченные осью абсцисс, прямыми и , а также графиком функции на отрезке и графиком на отрезке (рис. 3). Рис. 3

Поскольку записать первообразную одинаково для этих функций нельзя, то данную криволинейную трапецию разобьем прямой на две трапеции, тогда общая площадь фигуры будет равна сумме площадей этих трапеций, то есть , где , а .

Следовательно, .

7. Площадь фигуры, ограниченной кривой, которая задана уравнениями в параметрической форме.

Пусть зависимость задается параметрически, а именно:

, , (9)

где ; , и уравнения (9) определяют некоторую кривую на отрезке .

Тогда площадь фигуры вычисляется по формуле

. (10)

Вычисление объема тела вращения

Допустим, что – известная непрерывная функция от .

Объем тела вращения криволинейной трапеции вокруг оси Ох:

. (11)

Пример 5. Шар радиусом можно рассматривать как результат вращения полуокружности вокруг оси .

Тогда объем этого шара можно найти по формуле:

.

Если заменить в формуле (19.44) формально на , то получим объем тела вращения вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной линиями , где – функция обратная к , то есть:

. (12)