6.2. Использование интегралов в некоторых экономических задачах

Интегрирование в экономике широко используется для определения функций расходов, прибыли, потребления, если известны соответственно функции предельных расходов, предельной прибыли, предельного потребления и т. п. Для определения свободной постоянной интегрирования необходимо дополнительное условие. Если находится функция расходов, используется условие: при количестве продукции значение функции расходов равно фиксированным расходам, а при нахождении функции дохода: при количестве продукции значение функции равно нулю (доход равен нулю, если изделия не проданы).

Рассмотрим ряд экономических задач, для решения которых используется понятие неопределенного и определенного интеграла.

Пример 6. Задана функция предельного дохода

.

Найти функцию дохода и закон спроса.

Решение.

.

Следовательно, при , то есть и функция дохода будет: .

Если каждая единица продукции продается по цене единиц, то доход определяется формулой

Следовательно, закон спроса будет: .

Пример 7. Функция предельных расходов предприятия имеет вид:

.

1. Найти функцию расходов, если расходы на 100 единиц продукции составляют 7 тыс. грн.

2. Найти фиксированные расходы.

3. Каковы затраты производства 250 единиц продукции?

4. Если цена составляет 65,5 грн за единицу продукции, найти максимальное значение прибыли.

Решение.

Найдем функцию расходов:

.

Если ед., то по условию задачи тыс. грн.

То есть:

, или .

Для нахождения фиксированных расходов найдем функцию расходов при . При этом .

Таким образом, функция расходов имеет вид:

.

Расходы производства на 250 ед. продукции получим:

.

Прибыль предприятия определяем по формуле: ,

где – цена единицы продукции.

Следовательно, .

Решим задачу на экстремум, найдем критические точки:

,

Исследуем при .

, то есть функция прибыли имеет максимум.

Значение функции прибыли в точке Таким образом, если реализовывать продукцию по цене 65,5 грн за единицу, предприятие не будет иметь прибыль.

Пример 8. Найти среднее значение расходов, если объем производства изменяется от 100 до 200 ден. ед. Известно, что расходы в зависимости от объема производства описываются с помощью функции . Определить объем производства, при котором расходы достигают среднего значения.

Решение.

Для того чтобы определить искомый объем производства, используем теорему о среднем, записав ее так: .

Если , то подставим ее под знак интеграла с пределами интегрирования , :

Таким образом, средние расходы производства составляют 2700 ден. ед.

Пример 9. Выигрыш потребителей и поставщиков.

Найти выигрыш потребителей и выигрыш поставщиков, если – кривая спроса на некоторый товар и – кривая предложения ; – точка рыночного равновесия (рис. 4).

Понятно, что некоторые потребители смогут заплатить за товар цену .Найдем выигрыш потребителей от установленной цены . Разобьем промежуток на частные промежутки ; ; . В каждом частном промежутке возьмем произвольную точку .

В ыигрыш потребителей на этом отрезке будет:

, где . Тогда средний выигрыш на промежутке будет:

.

Рис. 4

Если функция спроса непрерывна и , а , то эта интегральная сумма имеет предел: .

Таким образом, выигрыш потребителей: .

Аналогично находится выигрыш поставщиков: .

Очевидно, что выигрыш потребителей равен площади между кривой спроса и прямой . Выигрыш поставщиков равен площади между прямой и кривой предложения .

Пример 10. Пусть – функция спроса, а функция предложения – . Найти выигрыши потребителей и поставщиков, если было установлено рыночное равновесие.

Решение.

Найдем точку рыночного равновесия ,

или .

Корни квадратного уравнения , .

Тогда при , .

Таким образом, выигрыш потребителя:

,

а выигрыш поставщика:

Пример 11. Задача дисконтирования. Определение начальной суммы капиталовложений по ее конечной стоимости, полученной в течение времени (годы), если годовой процент, или процентная ставка , называется дисконтированием. Задачи дисконтирования рассматривают при определении экономической эффективности капиталовложений.

Пусть – конечная сумма за лет, а – начальная, или дисконтированная, сумма.

Если проценты простые, то , где – удельная процентная ставка. Тогда .

В случае сложных процентов , а поэтому .

Если ежегодная прибыль изменяется во времени и описывается формулой по удельной процентной ставке, которая равна , то она насчитывается непрерывно. В этом случае дисконтированная прибыль в течение времени подсчитывается по формуле:

. (13)

Пример 12. Пусть нужно определить дисконтированную прибыль за 5 лет при процентной ставке , если начальные капиталовложения составляют 1 млрд грн, а также намечается ежегодно увеличивать капиталовложение на 1 млрд грн.

Если капиталовложения задаются формулой , тогда по формуле (13) дисконтированная прибыль:

.

Интегрируя по частям, имеем:

Стоимость свидетельствует о том, что за 5 лет при равномерном приросте капиталовложений от 1 до 5 млрд грн ежегодные капиталовложения, равносильны начальным вложениям в 15,5 млрд грн по той же непрерывно начисленной процентной ставке.