5.2. Свойства определенного интеграла

По определению определенный интеграл – это предел интегральной суммы функции : .

Свойства определенного интеграла

1. При перестановке пределов интегрирования интеграл изменяет знак: .

2. Определенный интеграл от единичной функции равен:

.

3. Определенный интеграл .

4. Если – константа, то .

5. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, то есть: , где – константа.

6. Интеграл от алгебраической суммы двух (или конечного числа) функций равен сумме интегралов от этих функций, то есть:

.

7. Если отрезок интегрирования разбить на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов на составляющих этого отрезка, то есть для любых чисел будет: .

8. Если на отрезке , где , функции и удовлетворяют условию , то: .

9. Если и – наибольшее и наименьшее значения функции на , то есть и , то:

.

10. Если функция непрерывна на ( ), то найдется такое значение , что .

Свойство 10 называют теоремой о среднем значении .

5.3. Вычисление интеграла. Формула Ньютона – Лейбница

Если функция интегрируема на , то она также будет интегрируемой на отрезке , .

Интеграл от такой функции является некоторой функцией, зависимой от . Обозначим его как

. (*)

В этом интеграле нижний его предел – фиксированное число, а верхний предел изменяется. В выражении (*) используется переменная интегрирования , чтобы отличить ее от верхнего предела интегрирования.

На основе теоремы о среднем можно установить также, что функция определена и непрерывна на отрезке , а значит и на . Численно она равна площади криволинейной трапеции, основой которой является промежуток .

Теорема (о производной интеграла с переменным верхним пределом).

Если функция непрерывна на , то в каждой точке производная от функции по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, то есть

. (**)

Из этой теоремы следует, что если функция непрерывна на отрезке , то для нее существует первообразная на этом отрезке, и в качестве одной из первообразных можно взять интеграл с переменным верхним пределом. Отсюда также вытекает, что неопределенный интеграл от функции , непрерывной на , является одним из интегралов с переменным верхним пределом, то есть

, ,

где – некоторая постоянная.

Теорема (формула Ньютона – Лейбница).

Если – первообразная для непрерывной на функции , то имеет место формула:

. (***)

Доказательство.

Если – какая-либо первообразная для функции , то и функция – также первообразная для .

Две первообразные отличаются одна от другой лишь константой, то есть

. (//)

Последнее равенство будет справедливым при соответствующем выборе постоянной для всех значений .

Чтобы определить допустим в (//) , тогда

,

откуда .

Следовательно: .

Теперь, если взять в (//) , то получим: .

Следовательно, формула Ньютона – Лейбница доказана.

Вычисление определенных интегралов с помощью формулы Ньютона – Лейбница проводится в два этапа: сначала методами вычисления неопределенного интеграла находят некоторую первообразную для функции , а затем находят ее приращение на промежутке .

Для обозначения приращения первообразной вводят символ двойной подстановки, который удобно использовать при решении примеров, а именно: .

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение.

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение.

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение.