Тема 5. Анализ рядов распределения
Изучение данной темы не вызовет трудности, если усвоены все предыдущие темы. С рядами распределения Вы ознакомились, изучив тему «Сводка и группировка статистических данных». Ряд распределения представляет собой совокупность значений случайной величины и вероятностей их наблюдения. Необходимо разобраться в основных характеристиках закономерностей распределения к которым относятся: центр распределения, вариация, норма распределения.
К структурным средним, характеризующим центр распределения, в статистике относится мода, медиана, квартили.
Модой в статистике называют наиболее часто встречающееся значение признака. Модой в дискретном вариационном ряду является вариант ряда, который имеет наибольшую частоту, т.е. повторяется чаще других.
Мода в интервальном вариационном ряду (Мо):
(5.1)
где Xmo – нижняя граница модального интервала;
hmo – величина модального интервала;
fmo – частота модального интервала;
fmo-1 – величина предмодального интервала;
fmo+1 – величина послемодального интервала;
Рассчитаем моду объема реализации по данным примера 4.3.
Наиболее часто встречающийся объем реализации по исследуемым фирмам составляет 250 тыс.грн.
Медианой (Ме) в статистике называется значение признака у той единицы совокупности, которая расположена в середине упорядоченного (ранжированного) ряда.
Пример 4.5. По данным о распределении семей по числу детей определить медиану дискретного ряда.
Число детей в семье |
Число семей |
Кумулятивные частоты |
0 |
10 |
10 |
1 |
30 |
40 |
2 |
75 |
115 |
3 |
45 |
160 |
4 |
20 |
180 |
5 |
15 |
195 |
6 |
6 |
201 |
Итого |
201 |
|
Варианта, которая делит упорядоченный ряд пополам:
Таким образом, 101-я варианта соответствует третьему значению варьирующего признака (кумулятивная частота 115) и медианой будет семья, имеющая двух детей.
Медиана в интервальном вариационном ряду:
(5.2)
где Xme – нижняя граница медианного интервала;
hme – величина медианного интервала;
Σf – численность ряда (сумма частот);
fme – частота медианного интервала;
Sme-1 – сумма частот, накопленных до медианного интервала.
Медиана заработной платы рабочих (по данным примера 4.3) будет равна:
Таким образом, половина фирм имеют объем реализации до 246 тыс.грн, а половина - более 246 тыс.грн.
Наряду с медианой для более исчерпывающей характеристики структуры изучаемой совокупности применяют и другие значения вариантов, занимающих в ранжированном ряду вполне определенное положение. К ним относятся квартили и децили.
Квартили делят ряд по сумме частот на 4 равные части, а децили - на 10 равных частей. Квартилей насчитывается три, а децилей - девять.
Расчет этих показателей в вариационном ряду аналогичен расчету медианы. Он начинается с нахождения порядкового номера соответствующего варианта и определения по накопленным частотам того интервала, в котором этот вариант находится.
Нижний (или первый) квартиль(Q1):
(5.3)
Верхний (или третий) квартиль (Q3):
(5.4)
где xQ1 и xQ3 – нижние границы соответствующих квартильных интервалов;
h – величина интервалов;
Σf – сумма частот ряда;
SQ1-1, SQ3-1 – накопленные частоты интервалов, предшествующих квартильным;
fQ1 и fQ3 – частоты, соответствующих квартильных интервалов.
Вторым квартилем является медиана.
При изучении вариации главное разобраться в причинах, порождающих вариацию признаков, задачах статистического изучения вариации и усвоить методы определения показателей вариации.
Наиболее простым в определении показателей вариации является размах вариации (R):
R=Xmax - Xmin (5.5)
где Xmax, Xmin – наибольшее и наименьшее значение признака.
Среднее линейное отклонение (Л) представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической и определяется по формуле:
Л
=
-
невзвешенное (5.6)
Л=
- взвешенное (5.7)
Дисперсия (σ2) представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от средней величины:
σ2
=
- невзвешенная (5.8)
(весы равны или отсутствуют)
σ2
=
- взвешенная
(5.9)
Дисперсия альтернативного признака (доли) отражает структуру совокупности и равна произведению частей этой совокупности:
σ2 = w(1-w)
где w – доля единиц, обладающих данным признаком.
Среднее квадратическое отклонение (σ) представляет собой корень квадратный из дисперсии и измеряет абсолютный размер колеблемости признака:
σ
=
- невзвешенное (5.10)
σ=
- взвешенное (5.11)
Коэффициент вариации (V) - это процентное отношение среднего линейного или среднего квадратического отклонения к средней арифметической.
Vл
=
- линейный коэффициент вариации
(5.12)
Vσ
=
- квадратический коэффициент вариации
(5.13)
VR
=
- коэффициент осцилляции (5.14)
VQ
=
- квартильный коэффициент вариации
(5.15)
RQ = (Q3 – Q1) – квартильный размах вариации
Используя данные примера 4.3. определим показатели вариации объема реализации:
Объем реализа-ции, тыс.грн. |
Число фирм, (f) |
Х |
Xf |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
до 180 |
5 |
170 |
850 |
+73 |
365 |
5329 |
26645 |
180-200 |
10 |
190 |
1900 |
+53 |
530 |
2809 |
28090 |
200-220 |
15 |
210 |
3150 |
+33 |
495 |
1089 |
16335 |
220-240 |
20 |
230 |
4600 |
+13 |
260 |
169 |
3380 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
240-260 |
25 |
250 |
6250 |
+7 |
+175 |
49 |
1225 |
260-280 |
20 |
220 |
5400 |
27 |
540 |
729 |
14580 |
280-300 |
20 |
290 |
5800 |
47 |
940 |
2209 |
44180 |
Итого |
115 |
|
27950 |
|
3305 |
|
134435 |
Средний объем реализации:
тыс.грн
Среднее линейное отклонение:
тыс.грн
Следовательно, средний объем реализации колеблется в пределах 214,3 - 271,7 тыс.грн.
(Х = 243± 28,7)
Дисперсия:
Средний квадрат отклонений объема реализации от ее средней величины составляет 1169.
Среднее квадратическое отклонение:
тыс.
грн
Средняя объем реализации колеблется в пределах 208,8 - 277,2 тыс.грн. (Х =243 ± 34,2).
Коэффициент вариации (квадратический):
Величина коэффициента вариации небольшая, следовательно, разброс значений объема реализации около ее средней невелик, совокупность однородна по составу, а средняя вполне представительна.
Определение дисперсии обычным путем является трудоемким процессом, поэтому существуют упрощенные способы расчета дисперсии на которые нужно обратить особое внимание.