Тема 6. Выборочный метод
При изучении данной темы необходимо усвоить сущность выборочного наблюдения, его преимущества и недостатки перед сплошным наблюдением, а также область применения.
Необходимо разобраться в основных видах отбора (собственно-случайный, механический, типический, серийный, комбинированный), уяснить условия применения каждого из них.
Очень важным моментом в изучении данной темы является закрепление теоретического материала и решения задач по определению предела случайной ошибки репрезентативности для различных типов выборочных характеристик и определение объема выборки, обеспечивающей необходимую репрезентативность выборочной совокупности.
Ошибка репрезентативности, или разность между выборочной и генеральной характеристикой, рассчитывается как предел наивероятной ошибки. В качестве уровня гарантийной вероятности (Р) обычно берется 0,954 или 0,997. Тогда предел ошибки (Δ) обычно определяется величиной удвоенной или утроенной средней ошибки выборки (μ):
при
при
или в общем виде:
(6.1)
где t – коэффициент, связанный с вероятностью, гарантирующей результат. Следует помнить, что величина средней ошибки выборки различна для отдельных видов отбора.
При собственно случайном и механическом повторном индивидуальном отборе средняя ошибка выборки:
(6.2)
-предельная ошибка выборки:
(6.3)
где, σ2 – общая дисперсия признака;
n – число отобранных единиц наблюдения.
ω – средняя ошибка доли:
(6.4)
При серийном, повторном отборе:
(6.5)
При бесповторном, серийном отборе:
(6.6)
При собственно-случайном и механическом бесповторном отборе средняя ошибка выборки:
(6.7)
- средняя ошибка доли:
(6.8)
При типическом повторном отборе:
(6.9)
При типическом бесповторном отборе:
(6.10)
Для решения практических задач пользуются предельной ошибкой выборки.
Пример 6.1. С вероятностью 0,954 нужно определить границы среднего веса детали, если контрольная выборочная проверка дала следующие результаты (первые 2 графы таблицы).
Вес 1 детали, г (х) |
Количество деталей (f) |
Расчетные графы |
|||
х0=49,5 |
|
|
|
||
48-49 |
20 |
-1 |
2 |
-2 |
2 |
49-50 |
50 |
0 |
5 |
0 |
0 |
50-51 |
20 |
+1 |
2 |
2 |
2 |
51-52 |
10 |
2 |
1 |
2 |
4 |
Итого |
100 |
|
10 |
2 |
8 |
Средний вес детали по выборке:
Выборочная дисперсия веса 1 детали:
Средняя ошибка выборочной средней:
г.
Предел для ошибки с вероятностью 0,954:
Границы генеральной средней:
г
г
Таким образом с вероятностью 0,954 можно утверждать, что в среднем вес детали для всей партии не более 49,74 и не менее 49,526 г.
Если бы в условии предыдущей задачи было сказано, что выборка бесповторная составляет 20% генеральной совокупности, то в этом случае необходимо сделать поправку на данный вид отбора.
г.
Необходимая численность выборки определяется на основе формул предельной ошибки выборки:
- для собственно-случайного и механического отбора:
- выборка повторная:
(6.11)
- для доли:
(6.12)
- выборка бесповторная:
(6.13)
- для доли:
(6.14)
Пример 6.2. В цехе работает 2500 человек. Определить численность выборки для контроля среднегодовой производительности труда рабочих при условии повторного отбора и бесповторного отбора. Коэффициент доверия t = 2 (Р = 0.954). Предельная ошибка выборки при определении среднегодовой производительности труда составляет 20 т/чел, среднее квадратическое отклонение σ = 300 т.
1) Численность выборки для повторного отбора:
чел
2) Для бесповторного отбора:
чел
Т е. для получения предельной ошибки выборки не более 20 т/чел при σ =300 т и t = 2 необходимо отобрать 900 рабочих при повторной выборке и 662 рабочих при бесповоротной выборке.
Вопросы и тесты для самоконтроля
6.1. Что представляет собой выборочное наблюдение?
6.2. В чем заключаются условия проведения выборочного наблюдения?
6.З. Какие существуют виды отбора?
6.4. Какие существуют методы отбора?
6.5. Почему определяется средняя из возможных ошибок выборки?
6.6. В чем состоят особенности выборочного наблюдения? -
6.7. Что представляют собой ошибки репрезентативности?
6.8. Охарактеризуйте методы расчета средней из возможных ошибок выборочного наблюдения.
6.9. Как определяется необходимая численность выборки?
6.10. Охарактеризуйте способы распространения выборочных данных на генеральную совокупность.
6.11. Случайная ошибка репрезентативности возникает вследствие:
а) нарушения принципов случайности отбора;
б) несплошного характера наблюдений.
Можно ли избежать случайной ошибки репрезентативности?
в) да;
г) нет.
Ответ: 1) а,в; 2) а,г; 3) б,а; 4) б,г.
6.12. Средняя ошибка выборки определяется с целью:
а) изучения вариации признака;
б) изучения среднего значения изучаемого признака;
в) изучения коэффициента роста;
г) установления возможных пределов отклонений генеральной от средней выборочной.
Ответ: 1) а,в; 2) а,г; 3) б,а; 4) б,г.
6.13. По данным выборочного наблюдения (5 % выборка) удельный вес продукции, переведенной во второй сорт, на первом предприятии составила 5 %, а на втором – 6 %. При одинаковом объеме выборки, ошибка выборки для продукции, переведенной во второй сорт:
а) больше на первом предприятии;
б) больше на втором предприятии;
в) ошибки одинаковы;
г) предусмотреть нельзя.
Ответ : 1) а; 2) б; 3) в; 4) г.
6.14. Чтобы уменьшить среднюю ошибку выборки в 2 раза, необходимо объем случайной выборки:
а) увеличить в 2 раза;
б) увеличить в 4 раза;
в) уменьшить в 2 раза;
г) уменьшить в 4 раза.
Ответ : 1) а; 2) б; 3) в; 4) г.
Задачи для решения
Задача 6.1.
С целью контроля за наблюдением норм расхода сырья проведено выборочное обследование партии заготовок деталей. При механическом бесповторном отборе 2% изделий, поступающих из литейного цеха, получены следующие данные о распределении образцов по весу:
Вес изделия, г |
Число деталей |
до 1000 |
22 |
1000-1025 |
77 |
1025-1050 |
183 |
1050-1075 |
85 |
1075-1100 |
23 |
1100 и выше |
10 |
Итого |
400 |
Норма расхода сырья на заготовку - 1050 т Проверьте, соответствует ли фактический расход сырья установленной норме.
Выводы сделайте с вероятностью 0,997.
Задача 6.2.
Для изучения производительности труда рабочих было проведено десятипроцентное выборочное наблюдение (механический способ отбора) в результате которого получено следующее распределение рабочих по дневной выработке.
Дневная выработка, т |
до 60 |
60-80 |
80-100 |
100-120 |
120 и > |
Всего |
Число рабочих, чел |
25 |
30 |
50 |
30 |
15 |
150 |
По выборочной совокупности исчислить среднюю выработку рабочих и с вероятностью 0,997 определить возможные пределы, в которых находится средняя производительность труда рабочих на участке.
Задача 6.3.
Укажите способы формирования выборочной совокупности при изучении:
1) продолжительности срока службы металлорежущих станков, если отбирался каждый третий завод министерства и на попавших в выборку заводах подвергались обследованию все металлорежущие станки;
2) среднего количества слов в телеграмме, если отбиралась каждая сотая телеграмма;
3) средней выработки рабочих, если отбирался каждый пятый среди специализированных цехов, а внутри цехов проводилось сплошное обследование;
4) потерь рабочего времени на участке, если через каждый час в карте наблюдения фиксировалось, чем заняты рабочие;
5) бюджета времени работающих, если отбиралось, каждое пятое предприятие из их общего списка по отрасли промышленности, а на отобранных предприятиях - каждый сотый рабочий или служащий.
Задача 6.4.
По приведенным данным пятипроцентного выборочного обследования (способом механического отбора) выполнения норм выработки рабочими цеха, определить:
а) средний процент выполнения норм выработки;
б) моду;
в) медиану;
г) с вероятностью 0,997 пределы, в которых ожидается средний процент выполнения нормы выработки по цеху;
д) с вероятностью 0,954 - возможные пределы доли рабочих, выполняющих нормы выработки на 120’% и более.
Сделать выводы.
Выполнение нормы выработки, % |
Численность рабочих, чел |
до 90 |
30 |
90-100 |
45 |
100-110 |
70 |
110-120 |
38 |
120 и более |
23 |
Задача 6.5.
На основе данных задачи 5.3. найти пределы в которых находится значение изучаемого признака в генеральной совокупности (с вероятностью 0,954).
Задача 6.6.
По данным выборочного обследования (20-процентный отбор) доля жителей города старше 60 лег составляет 10 %, в возрасте до 16 лет - 14%. доля рабочих (без числа членов их семей) - 18%. Обследовано 400 человек с вероятностью 0,954 определите возможные пределы значений показателей в - генеральной совокупности.
Задача 6.7.
С целью определения затрат времени на изготовление детали проведен хронометраж работы 25 рабочих, отобранных в случайном порядке (каждый десятый рабочий). По данным выборки получила х = 15 мин. при σ2 = 2 мин.
Определить:
а) как изменится ошибка выборки если объем выборочной совокупности увеличить в 2 раза?
б) как скажется на ошибке выборки увеличение дисперсии в 1,5 раза?
в) как изменятся ошибка выборки, если с увеличением дисперсии в 1,5 раза объем выборочной совокупности увеличить в 2,5 раза?