Основні рівняння термогазодинаміки одномірного руху робочої речовини

Рівняння одномірного руху робочої речовини. В основі інженерних розрахунків компресорів динамічного принципу дії лежить теорія струмини, в якій потік речовини, що проходить через компресор, умовно рахується таким, що складається з безкінечної кількості елементарних струменів потоку. Так як елементарний струмінь має нескінченно малий поперечний перетин, то всі параметри в ньому рахуються однаковими. З гідрогазодинаміки вам відомо рівняння Бернулі

, (1)

де – елементарна робота, що підводиться до потоку ззовні, – елементарна робота, що витрачається на підвищення тиску; – елементарна робота, що витрачається на зміну швидкості, – елементарна робота, що витрачається на подолання сили тертя.

Рух рідини без підведення енергії ззовні опишеться рівнянням

. (2)

Якщо відсутні втрати

. (3)

З цього рівняння слідує, що із зменшенням швидкості потоку тиск зростає , і навпаки.

Оскільки в головному елементі проточної частини компресорів динамічного принципу дії – робочому колесі – канали, по яким рухається робоча речовина, обертаються з постійною кутовою швидкістю, відносно осі ротора, то на неї додатково діють відцентрова та коріолісова сили, врахування яких дозволить отримати рівняння Бернулі у відносному русі

(4)

де – елементарна робота, що витрачається на зміну відносної швидкості; – елементарна робота, що підводиться до потоку від робочого колеса, що обертається; ω – кутова швидкість, r – радіус.

Інтегруючи рівняння (1) від перетину 1 на вході до перетину 2 на виході з колеса отримаємо питому роботу, яка підводиться до робочої речовини від лопаток колеса

, (5)

де – питома ефективна робота, що витрачається на підвищення тиску в колесі; – різниця кінетичних енергій на вході та виході з колеса; –питома робота, що витрачається на подолання сил тертя.

Рівняння (4) після інтегрування дасть

. (6)

Тоді знаючи, що колова швидкість на будь-якому радіусі дорівнює , можна записати

. (7)

З цього рівняння видно, що питома ефективна робота, що витрачається на підвищення тиску у робочому колесі, складається із роботи в полі відцентрових сил та зміни кінетичної енергії потоку у відносному русі за вирахуванням втраченої питомої роботи.

Визначивши з рівняння (7) суму та підставивши у (5), отримаємо

. (8)

З цього рівняння слідує, що робота підведена до робочого колеса дорівнює сумі роботи в полі відцентрових сил та зміні кінетичної енергії потоку у відносному та абсолютному рухах.

Рівняння енергії. Рівняння першого закону термодинаміки

(9)

справедливе як для ідеальних так і для реальних процесів, в яких рух речовини супроводжується втратами роботи на тертя, перемішування потоку та вихороутворення. Ці втрати переходять в теплоту, яка залишається в потоці та йде на нагрівання самої речовини. Тому справедливо, що

. (10)

Визначивши з (9) та з врахуванням співвідношення (10) ефективну роботу та підставивши потім в рівняння (1) отримаємо

(11).

Порівнявши праві частини рівнянь (1) та (11) можна встановити зв’язок між ентальпією, ефективною та витраченою роботами, а також теплотою підведеною зовні,

. (12)

В практиці розрахунків відцентрових компресорів нехтують, так як вона не перевищує 1-3%. Тоді рівняння (11) та (12) спрощуються:

; . (13), (14)

Інтегрування цих рівнянь від вхідного до вихідного перерізів колеса дає:

; . (15), (16)

Перше рівняння показує, що робота підведена до колеса, витрачається на збільшення ентальпії та кінетичної енергії; друге – збільшення ентальпії речовини в колесі складається з ефективної роботи, витраченої на стискання та втраченої роботи. Порівнявши праві частини рівнянь (8) та (15), отримаємо

, (17)

з чого слідує, що збільшення ентальпії в колесі відбувається за рахунок роботи в полі відцентрових сил та зміни кінетичної енергії у відносному русі. Перестановка членів у рівнянні (17) дає

. (18)

В загальному випадку можна записати . Ця величина називається постійною Бернулі у відносному русі і вона постійна для будь-якого перетину робочого колеса. Якщо розглядається нерухомий елемент проточної частини ступені стискання, в якому енергія до потоку не підводиться, то рівняння (13) спрощується:

. (19)

Інтегруючи його від вхідного до вихідного перерізу, наприклад лопатевого дифузора, знаходимо

, (20)

де індексами 3 та 4 позначено перерізи відповідно на вході та на виході з лопатевого дифузора.

Ентальпія гальмування потоку дорівнює сумі статичної ентальпії та кінетичної енергії в перерізі, що розглядається

. (21)

Використовуючи (21) рівняння(15) та (20) можна записати так:

; (22)

З цих рівнянь слідує, що робота, підведена до робочого колеса дорівнює різниці ентальпій гальмування та – у випадку коли теплота та енергія не підводяться, то ентальпія гальмування в потоці є величиною сталою.

Рівняння процесу. Рівняння (1) та (13) можуть бути використані не тільки для робочого колеса чи будь-якого нерухомого елементу, але й також для будь-якої групи послідовно розташованих елементів і всієї машини в цілому. Інтегруючи ці рівняння від вхідного перетину до вихідного, знайдемо

; (23)

; (24)

З цих рівнянь можна встановити зв’язок між різницею ентальпій, ефективною та втраченою роботами

. (25)

Для оцінки енергетичної ефективності в компресорних машинах використовують поняття коефіцієнта корисної дії. Під ним розуміють відношення ефективної роботи, витраченої на підвищення тиску та зміну кінетичної енергії потоку в машині, до повної витраченої на її привід роботи

, (26)

де , – корисна та повна робота компресора; N, N_мех – повна потужність витрачена на привід компресора та потужність механічних втрат.

Рівняння витрати. Секундна витрата G робочої речовини визначається рівнянням

, (27)

де ρ– густина робочої речовини; с – її швидкість; F – площа поперечного перерізу каналу, ортогональна вектору швидкості, дорівнює: , де D і b – довільний діаметр та ширина каналу (рис.6. ), τ – коефіцієнт стиснення потоку лопатками. Цьому перетину ортогональна радіальна складова швидкості, або по іншому , радіальна швидкість

.

В результаті отримаємо

. (28)

Коефіцієнт стискання потоку визначається як відношення частини площі перетину, вільної для проходу речовини, до повної площі кільця :

, (29)

де F_лч – частина площі кільцевого перерізу, зайнята лопатками; z – кількість лопаток; δ_л – товщина лопаток; β_л – кут нахилу середньої лінії.

Рис.6. . Схема робочих коліс

Рівняння моментів кількості руху. Потужність, що витрачається на стискання та переміщення робочої речовини, визначається як добуток крутного моменту, що передається від лопаток потоку, на кутову швидкість колеса

. (30)

Згідно закону про зміну моментів кількості руху теоретичний крутний момент дорівнює різниці моментів кількості руху секундної масової витрати речовини у вихідному та вхідному перерізах колеса. Будемо розглядати середнє значення абсолютних швидкостей в цих перерізах. При визначенні моментів кількості руху необхідно враховувати тільки колові складові абсолютних швидкостей та , ортогональні радіусу (рис.6. ). Тоді теоретичний крутний момент буде дорівнювати

. (31)

Знаючи, що отримаємо вираз для теоретичної потужності

і теоретичної питомої роботи (рівняння Ейлера)

. (32)

У випадку відсутності закручування потоку на вході в робоче колесо вектор абсолютної швидкості с₁ направлений по радіусу, чи вздовж осі (для осьового компресора). Його проекція на коловий напрямок дорівнює нулю, тому вираз спроститься

. (33)

Рис.6. Трикутник швидкостей на вході та виході із робочого колеса

відцентрового компресора

З цього рівняння можна зробити висновок, що питома енергія, яка передається потоку від колеса зростає із зростанням колової швидкості.

Якщо замість абсолютного кута ₂ на виході з колеса ввести відносний вихідний кут ₂, оскільки він, будучи заданим, визначає розміри колеса отримаємо

.

де –  – називається коефіцієнтом тиску.

Без попередньої закрутки коефіцієнт тиску залежить тільки від відношення швидкостей та ctg₂. Теоретично кут на виході можна вибирати довільно. Тим не менше коефіцієнт тиску буде тим більшим, чим більшим буде кут ₂. Колеса, в яких лопатки загнуті вперед, дозволяють досягнути більш високих значень коефіцієнта тиску, але з іншої сторони, знижується степінь їхньої реактивності (доля перепаду ентальпії в робочому колесі від повної роботи ступені), а саме, росте статичний тиск. Однак високі швидкості потоку на виході з колеса ускладнюють перетворення кінетичної енергії в тиск у дифузорі і супроводжуються значними втратами. Тому такі лопатки використовуються коли необхідно досягнути високого статичного тиску при незначних витратах.

При куті встановлення лопаток 90 і відповідній ступені реактивності 0,5, забезпечується максимальний процент перетворення кінетичної енергії в тиск, якого можна досягнути в лопатках колеса. Однак важко отримати оптимальний ККД. Тому в компресорах використовують колеса з лопатками загнутими назад. Такі колеса краще всього відповідають призначенню холодильних компресорів, оскільки забезпечують високі значення ККД, а характеристичні криві таких коліс мають найбільш прийнятну форму.

Більшість виробників обмежуються колесами, що мають 2-3 значення кутів лопаток на виході, що дозволяє визначити оптимальну величину вихідного кута лопатки в залежності від передбачуваної області використання турбокомпресора.