Электростатическое поле

Решение задач, связанных с определением ряда параметров СВЧ устройств, таких, как электрическая прочность, допустимая мощность передачи, распределенная емкость многосвязанных ли­ний передач и других, осуществляют в электростатическом при­ближении. Электростатическое поле - это поле неподвижных за­рядов, оно является потенциальным. Потенциальность этого по­ля следует из соотношения , которое позволяет представить вектор в виде градиента скалярной функции :

, (16)

Здесь потенциал определен неоднозначно с точностью до постоянной величины. При решении практических задач обыч­но полагают потенциал бесконечно удаленной точки равным нулю.

Разность потенциалов двух точек определяется как работа, совершаемая против сил поля, при перемещении по­ложительного единичного заряда от одной точки к другой:

где

Как следует из выше приведенных соотношений, разность по­тенциалов и работа сил поля в электростатическом поле не за­висит от пути интегрирования, а зависит только от положения начальной и конечной точек.

Из третьего уравнения Максвелла и соотношения (16) сле­дует, что для области, содержащей источники, потенциал удов­летворяет уравнению Пуассона или , где в декартовой системе координат

. Если в рассматриваемой области заряды отсутствуют,

то уравнение Пуассона переходит в уравнение Лапласа

Решение уравнения Пуассона в случае зарядов, распреде­ленных в объеме с плотностью имеет вид . Для точечного заряда значение потенциала

В электростатическом поле вводят понятие эквипотенци­альных поверхностей - поверхностей равного потенциала . Эти поверхности, как следует из выражения (16), ор­тогональны силовым линиям электрического поля.

Покажем, что в средах с конечной проводимостью отсутствует электростатическое поле и не может быть постоян­ного объемного заряда. Для этого уравнение непрерывности преобразуем на основании закона Ома и третьего уравнения Максвелла в однородное дифференциальное уравнение относительно объемной плотности заряда:

Р ешение этого уравнения показывает (рис. 2), что объемная плотность заряда в среде с конечной проводимо­стью убывает со временем как . Величина на­зывается временем релаксации, оно равно времени, за которое плотность заряда убывает в раз.

Таким образом, можно утверждать, что в среде с конечной проводимостью объемная плотность заряда и , сле­довательно, в таких средах не может существовать электростатического поля , . По­этому на основания (16) можно утверждать, что если в проводя­щих средах ; , то для них , и поверх­ность проводящих тел будет эквипотенциальной. Это значит, что любая замкнутая металлическая полость является идеальным электростатическим экраном.

Система уравнений Максвелла для монохроматического поля

Все реальные электромагнитные процессы могут быть пред­ставлены в виде суперпозиции монохроматических гармонических колебаний. Особенностью таких колебаний является то, что они с точностью до фазы определены во временной зависимости. На­пример, скалярные величины , векторные , где - фаза процесса. Эти реальные величины могут быть выражены в комплексной форме сле­дующим образом.

Скалярные: где ;

векторные: , где

Введение комплексных величин упрощает решение уравнений Максвелла, так как операция дифференцирования и интегрирова­ния по времени для комплексных величин заменяется соответст­венно умножением или делением на . Полная система урав­нений Максвелла в комплексной форме при отсутствии сторонних источников состоит из двух уравнений

,

(17)

а третье и четвертое уравнения для монохроматического поля являются прямым следствием первых двух.

Комплексная диэлектрическая проницаемость Запишем пер­вое уравнение (17) с учетом. закона Ома :

,

где

, (18)

комплексная диэлектрическая проницаемость;

, (19)

тангенс угла диэлектрических потерь.

Соотношение (18) показывает, что наличие потерь в среде приводит к фазовому сдвигу между векторами и на ве­личину .

По аналогии с комплексной диэлектрической проницаемо­стью вводят понятие комплексной магнитной проницаемости:

где угол характеризует явление гистерезиса (отставание по фазе от ).

Введение комплексной диэлектрической проницаемости поз­воляет уточнить понятие проводника и диэлектрика. Деление сред на проводники и диэлектрики условно. Все реально суще­ствующие среды имеют в определенных условиях вполне конкрет­ную проводимость . Для упрощения анализа часто исполь­зуют понятие идеального проводника и идеального ди­электрика . В идеальном проводнике может существовать только ток проводимости , а в идеальном диэлектрике -только ток смещения . В реальных средах за счет конеч­ной проводимости всегда имеет место как ток проводимости, так и ток смещения. Поэтому проводниками принято называть среды, в которых ток проводимости намного превосходит ток смещения , а диэлектриками - когда . Из приведен­ных неравенств следует, что это деление весьма условное и оно во многом зависит от скорости изменения электромагнитно­го процесса.

Количественное соотношение между током проводимости и током смещения в зависимости от частоты и проводимости может быть записано: . Отсюда следует вывод, что для проводника должно выполняться соотношение ,а для диэлектрика , а если это отношение близко к еди­нице, то среда является полупроводником.