1.3. Способи задання функції

Як і функцію однієї змінної, функції двох змінних можна задаватити:

— аналітично (у вигляді формули), наприклад:

,

• таблично (у вигляді таблиці), наприклад:

	у х	1	2	3	4
	1	1	2	3	4
	2	2	4	6	8
	3	3	6	9	12
	4	4	8	12	16

таблицею задана функція ;

—графічно:

Для графічного зображення функції двох змінних використовуємо систему координат Оxyz у тривимірному просторі (рис.6).

Рис.6

Кожній парі чисел x та y відповідає точка площини Оxy. У точці проводимо пряму, перпендикулярну до площини Оxy, та позначаємо на ній відповідне значення функції z; дістаємо в просторі точку Q з координатами , яка позначається символом . Точки Q, які відповідають різним значенням незалежних змінних, утворюють певну поверхню у просторі. Така поверхня є графічним зображенням функції .

Приклад. Графічним зображенням функції є площина, яка проходить через точки (0; 0; 1), (0; 1; 0), (1; 0; 0) (рис.7).

Рис. 7 Рис. 8.

Графічним зображення функції є півкуля (рис.8).

1.4. Знаходження області визначення функції двох змінних

Покажемо алгоритм знаходження області визначення функції двох змінних на прикладі.

Приклад. Знайти область визначення функції та надати їй геометричну інтерпретацію.

 1. Знайдемо область визначення функції аналітично

.

2. Нерівності в D замінюємо рівностями і будуємо лінії, що їм відповідають на координатній площині, а саме: ; .

Рис.9

3. Визначаємо за допомогою контрольних точок , розміщення D на площині і заштриховуємо її (рис.9).

1.5. Границя функції двох змінних

Означення. Число B називається границею функції при , , якщо для будь-якого існує число таке, що при виконанні нерівності виконується нерівність і позначається або .

Зауваження. Для функції багатьох змінних справедливі теореми про границю суми, добутку та частки, які аналогічні відповідним теоремам для функції однієї незалежної змінної.

Наведемо формулювання відповідних теорем.

Теорема 1. Якщо функція має границю при , то ця границя єдина.

Теорема 2. Якщо функція має границю при , то вона обмежена в деякому околі точки .

Теорема 3. Якщо , і в деякому околі точки виконується нерівність , то .

Теорема 4. Нехай , . Тоді:

1)  ;

2)  ;

3)  .

Приклад. Обчислити .

 Згідно з теоремами про арифметичні операції з границями, а також враховуючи те, що границя сталої дорівнює сталій, тобто , , маємо

.

Приклад. Обчислити .

 Візьмемо . Тоді з того, що випливає і задану границю можна переписати у вигляді . При маємо ; , тобто . Таким чином, .

Зауваження. Між поняттями границі в точці для функції однієї змінної та функції багатьох змінних є багато спільного, але є й принципова відмінність, яка робить поняття границі функції кількох змінних суттєво більш обмеженим, ніж поняття границі функції однієї змінної.

Річ у тім, що коли ( — функція однієї змінної), то це означає, що і лівостороння і правостороння границі дорівнюють b. Правильним є й обернене: з існування та збігу двох односторонніх границь випливає існування границі функції в точці.

Для функції двох змінних наближатися до точки можна нескінченною множиною способів: і справа, і зліва, і зверху, і знизу, і під кутом 30 до осі Ох тощо (рис. 10).

Рис. 10 Рис. 11

Більше того, до точки можна наближатися не тільки по прямій, а й по більш складних траєкторіях (рис. 11).

Очевидно, що рівність вірна тоді й тільки тоді, коли границя дорівнює b при наближенні до точки по будь-якій траєкторії. Це суттєво більш обмежене, ніж збіг двох односторонніх границь у випадку функції однієї змінної.

Приклад. Довести, що не існує.

 Будемо наближатися до точки (0; 0) по прямій . Якщо , тоді .

Зауважимо, що значення границі залежить від кутового коефіцієнта прямої, наприклад:

при границя дорівнює .

при границя дорівнює і т. п.

Таким чином, якщо наближатися до точки (0; 0) з різних напрямків, то дістанемо різні значення, тобто границя не існує.