2.8. Похідна неявної функції

Якщо існує неперервна функція однієї змінної така, що відповідні пари задовольняють умову , тоді ця умова називається неявною формою функції , а сама функція називається неявною функцією, яка задовольняє умову .

Припустимо, що неперервна функція задана в неявній формі і що . Похідну обчислюємо за формулою

, .

Приклад. Знайти похідну від неявної функції в точці , .

 Маємо , , звідки

.

Для , маємо .

Аналогічно частинні похідні функції двох незалежних змінних , яку задано за допомогою рівняння , де  — диференційована функція змінних , , , можуть бути обчислені за формулами

, (5)

за умови, що .

Приклад. Знайти , , якщо .

 У даному разі . Знайдемо , , .

, , .

Тоді за формулами (5)

, .

2.9. Формула Тейлора для функції двох змінних

Розглянемо функцію двох змінних . Припустимо, що в околі деякої заданої точки ця функція має неперервні похідні всіх порядків до включно. Надамо і деяких приростів і так, щоб прямолінійний відрізок, який сполучає точки і , не вийшов за межі околу, що розглядається. Тоді

або в розгорнутому вигляді

де .

Це формула Тейлора для функції двох незалежних змінних.

2.10. Поняття визначника Якобі (якобіан)

Важливим формальним засобом дослідження є визначники, утворені з частинних похідних.

Нехай дано n функцій від n змінних

,

,

................

,

що визначені в деякій n-вимірній області D і мають у цій області неперервні похідні за всіма змінними. Складемо з цих похідних визначник

.

Цей визначник називають функціональним визначником Якобі, або якобіаном, системи функції . Якобіан має властивості, які подібні до властивостей звичайної похід­ної. Якобіан використовують при обчисленні кратних інтегралів, при заміні змінної тощо.

Зауваження. Матрицю

називають матрицею Якобі.

2.11. Ротор, дивергенція

У.Р.Гамільтоном уперше було введено поняття оператора , який він назвав оператором «набла» і позначив через . Користуючись цим позначенням можна, написати, що .

Якщо двічі застосувати оператор до функції , дістанемо

—

так званий оператор Лапласа.

Означення. Скалярний добуток оператора на векторну функцію називається дивергенцією і обчислюється за формулою .

Означення. Векторний добуток оператора на векторну функ­цію називається ротором і обчислюється за формулою

.

Приклади

1. Знайти повний диференціал функції двох змінних:

.

 Знайдемо і .

,

.

Отже, .

2. Задано функцію . Знайти в точці А (1; 1) і похідну за напрямом від точки А (1; 1) до точки В (6; 4).

 Знайдемо значення частинних похідних у точці (1; 1)

, .

Підставивши знайдені значення частинних похідних у вираз градієнта, дістанемо .

Визначимо одиничний вектор , за напрямом якого обчислюється похідна:

.

Знайдемо шукану похідну за напрямом:

.

3. Знайти , якщо .

 Як відомо, , отже, спочатку знайдемо частинні похідні і .

Функція . Тоді

, , .

За формулами (5) маємо:

, .

Отже, .

4. Знайти якобіан перетворення з координатними функціями , , .

 Координатні функції неперервно диференційовані, а отже, частинні похідні від них існують у кожній точці і відповідний якобіан такий:

5. Знайти рівняння дотичних площин до поверхні

у точках перетину її з прямою .

 Пряма перетинає поверхню в точках А (2; 2; 3) і В (2; 2; – 3). Знайдемо частинні похідні функції в цих точках:

,

.

За формулою (5.4) дістанемо:

,

,

або

,

.