Тема 3 Дослідження функції двох змінних

3.1. Екстремум функції двох змінних

Означення. Нехай функція визначена в деякому околі точки і неперервна в цій точці. Якщо для всіх точок цього околу виконується нерівність , тоді ця точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції .

Точки максимуму й мінімуму називаються точками екстремуму.

Теорема 19. (необхідна умова екстремуму). Якщо функція має екстремум у точці , тоді в цій точці частинні похідні і або дорівнюють нулю, або хоча б одна з них не існує.

Теорема 20. (достатня умова екстремуму). Нехай функція має неперервні частинні похідні першого й другого порядку, причому та , а також , , . Якщо:

1)  і , тоді точка максимуму функції ;

2)  і , тоді точка мінімуму функції ;

3)  , тоді в точці немає екстремуму.

4)  , тоді потрібні додаткові дослідження.

Алгоритм дослідження функції на екстремум

1. Знайти перші частинні похідні та .

2. Знайти стаціонарні точки, тобто точки, в яких , .

3. Знайти частинні похідні другого порядку , , .

4. Обчислити значення частинних похідних другого порядку в стаціонарних точках.

5. Для кожної стаціонарної точки знайти і зробити висновки на базі теореми 20.

Приклад. Розглянемо функцію .

 1. Знайдемо , .

2. Необхідна умова існування екстремуму полягає в тому, що . Розв’язком цієї системи є точка з координатами , . Таким чином, у точці (1; 2) функція може мати екстремум.

3. Знайдемо похідні другого порядку , , , звідки дістаємо, що .

4. Як випливає з пункту 5 алгоритму знаходження екстремуму — екстремум у точці (1; 2) існує. Це максимум, бо .

Приклад. Дослідити на екстремум функцію двох змінних:

.

 Знайдемо і :

, .

2. Необхідна умова екстремуму: .

Отже, (0; 0) — стаціонарна точка.

3. Знайдемо , , :

, , .

4. У точці (0; 0)

, , .

.

5. Точка (0;0) — точка мінімуму, хоча це ясно і безпосередньо.

3.2. Знаходження найбільшого та найменшого значень неперервної функції на замкненій обмеженій множині

Як випливає з теореми 9, функція, що неперервна на замкненій обмеженій множині , досягає на ній найбільшого та найменшого значень. Цих значень вона може набувати як у внутріш­ніх точках множини (кожна така точка є точкою екстремуму функції, у цій точці перші частинні похідні дорівнюють нулю або не існують), так і на її межі, тобто необхідне спеціальне дослідження межових точок множини .

Приклад. Знайти найбільше та найменше значення функції в області, обмеженій прямими , , , (рис.20).

Рис. 20

 1. Дослідимо поводження функції всередині області KLMP. Знайдемо перші частинні похідні функції : , . Прирівнявши їх до нуля, дістанемо стаціонарні точки та .

2. Дослідимо поводження функції на межі області. Відрізок має рівняння , . Підставивши у задану функцію, дістанемо . Треба знайти найбільше та найменше значення цієї функції на відрізку .

Маємо , отже, функція зростає і тому досягає найбільшого та найменшого значення на кінцях відрізка, тобто в точках і .

Відрізок має рівняння , . Підставивши у задану функцію, дістанемо функцію z як функцію від змінної у: . Маємо на відрізку .

Отже, функція досягає найбільшого та найменшого значень на кінцях відрізка, тобто в точках і .

Відрізок має рівняння , . Підставивши у задану функцію, дістанемо функцію z як функцію від змінної х: , тобто . Маємо , звідки при . Отже, на відрізку функція може досягати найбільшого та найменшого значень у точках , та .

Відрізок має рівняння , . Підставивши у задану функцію, дістанемо . Маємо , отже, функція досягає найбільшого та найменшого значень на кінцях відрізка, тобто в точках , .

Таким чином, функція може досягти найбільшого та найменшого значень тільки в таких точках: , , , , , , .

Знаходимо , , , , , , .

Отже, , і це значення досягається в точці , , і це значення досягається в точці .

3.3. Умовний екстремум для функції двох змінних

Нехай на відкритій множині задано функції , і — множина точок, що задовольняють рівняння

(6)

Означення. Рівняння (6) називають рівнянням зв’язку. Точку називають точкою умовного максимуму функції відносно рівняння зв’язку (6), якщо існує такий окіл точки , для всіх точок якого , що задовольняють рівняння зв’язку, справджується нерівність .

Якщо за таких умов виконується , тоді точку називають точкою умовного мінімуму функції при обмеженнях (6).

Точки умовного максимуму та мінімуму називають точками умовного екстремуму. Умовний екстремум інколи називають відносним екстремумом.

3.4. Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення)

Якщо рівняння зв’язку можна розв’язати відносно змін­ної , наприклад, , тоді дослідження функції на умовний екстремум при обмеженні (6) зводиться до дослідження на звичайний (безумовний) екстремум функції однієї змінної :

.

Приклад. Знайти умовний екстремум функції відносно рівняння зв’язку .

 Розв’яжемо рівняння зв’язку відносно змінної : .

Підставимо знайдене значення у вираз для та зведемо задачу до дослідження на безумовний екстремум функції ,

.

Рис.21

Таким чином, задана функція має умовний екстремум у точці (3; 3).

3.5. Метод Лагранжа знаходження точок умовного екстремуму

Нехай функції та неперервно диференційовні в околі і ранг матриці Якобі дорівнює 1 у точках, що задовольняють рівняння зв’язку.

Означення. Функцію називають функцією Лагранжа, параметр — множником Лагранжа.

Теорема 21. (Необхідна умова існування умовного екст- ремуму.) Для того, щоб точка була точкою умовного екстремуму функції при рівнянні зв’язку необхідно, щоб її координати при деяких значеннях задовольняли систему рівнянь:

Ці умови означають, що точка є стаціонарною точкою функції Лагранжа і її координати задовольняють рівняння зв’язку.

Теорема 22. (Достатня умова умовного екстремуму.) Нехай функції , двічі неперервно диференційовані в околі точки і нехай у цій точці виконуються необхідні умови існування екстремуму функції при обмеженні Тоді якщо за умови

, (7)

другий диференціал функції Лагранжа є додатно (від’ємно) визначеною квадратичною формою, то функція у точці має умовний мінімум (максимум).

Якщо за умов (7) другий диференціал є невизначеною квадратичною формою, то в точці умовного екстремуму немає.

Приклад. Знайти умовний екстремум функції відносно рівняння зв’язку .

 Функції і подвійно неперервно диференційовані. Матриця Якобі в даному випадку має вигляд і її ранг дорівнює 1 в усіх точках, що задовольняють рівняння зв’язку. Отже, можна скористатися методом Лагранжа. Запишемо функцію Лагранжа

.

Згідно з необхідними умовами дістанемо систему:

з якої знаходимо , при ; , при . Таким чином, функція може мати умовний екстремум тільки в двох точках (–5; 4) і (5; – 4).

Обчислимо другий диференціал функції Лагранжа: , , , тоді .

Знайдемо перший диференціал функції .

У точках (–5; 4) і (5; – 4) диференціали і пов’язані рівністю: , . При виконанні цієї умови другий диференціал функції Лагранжа в точці (–5; 4) є додатно визначеною квадратичною формою , а в точці (5; –4) — від’ємно визначеною формою .

Отже, функція у точці (–5; 4) має умовний мінімум , а в точці (5; –4) — умовний максимум .